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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 02

Nos casos em que a equação dada descreve uma superfície esférica, determine o centro e o raio.

  1. x - 2 2 + y + 6 2 + z 2 = 25 .
  2. x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y + 2 z - 2 = 0 .
  3. x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y + 10 = 0 .
  4. x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 2 y = 0 .
  5. x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y - 6 z + 16 = 0 .
  6. 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 - 6 x + 2 y - 4 z + 7 = 0 .
  7. 4 x 2 + 4 y 2 + 4 z 2 - 8 x - 8 y - 8 z + 10 = 0 .
  8. x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y + 16 = 0 .
  9. x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 y + 5 = 0 .

Passo 1

A equação reduzida de uma esfera de raio r e centro a ,   b ,   c é dada por

x - a 2 + y - b 2 + z - c 2 = R 2

Passo 2

Note que podemos desenvolver a expressão, efetuando-se os quadrados perfeitos:

x 2 - 2 a x + a 2 + y 2 - 2 b y + b 2 + z 2 - 2 c z + c 2 = R 2

x 2 + y 2 + z 2 - 2 a x - 2 b y - 2 c z - R 2 = 0

Assim, se obtemos uma equação da forma acima, poderemos retornar para a forma reduzida e obter facilmente o centro e o raio.

Passo 3

  1. A equação está na forma reduzida, de modo que C = 2 ,   - 6 ,   0 e r = 5 .
  2. Vamos passar para a forma reduzida:

    3. x 2 - 4 x + y 2 + 6 y + z 2 + 2 z = 2 ⟹

    x 2 - 4 x + 4 + y 2 + 6 y + 9 + z 2 + 2 z + 1 = 2 + 4 + 9 + 1 ⟹

    x - 2 2 + y + 3 2 + z + 1 2 = 4 2

    Logo, C = 2 ,   - 3 , - 1 e r = 4 .

  3. Vamos passar para a forma reduzida

    4. x 2 - 2 x + y 2 - 4 y + z 2 = - 10 ⟹

    x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 4 y + 4 + z 2 = - 10 + 1 + 4 ⟹

    x - 1 2 + y - 2 2 + z 2 = - 5

    Note que tal resultado é impossível, já que R 2 = - 5 . Logo, a equação não representa uma esfera.

  4. Vamos passar para a forma reduzida.

    5. x 2 - 2 x + y 2 + 2 y + z 2 = 0 ⟹

    x 2 - 2 x + 1 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 = 1 + 1 ⟹

    x - 1 2 + y + 1 2 + z 2 = 2 = 2 2

    Logo, o centro é C = 1 ,   - 1 ,   0 e o raio é r = 2 .

  5. Vamos passar para a forma reduzida.

    6. x 2 - 2 x + y 2 - 4 y + z 2 - 6 z = - 16 ⟹

    x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 4 y + 4 + z 2 - 6 z + 9 = - 16 + 1 + 4 + 9 ⟹

    x - 1 2 + y - 2 2 + z - 3 2 = - 2

    Tal resultado é impossível. Logo, a equação não representa uma esfera.

  6. Vamos dividir toda a equação por 2. Assim,

    7. x 2 + y 2 + z 2 - 3 x + y - 2 z = - 7 2 ⟹

    x 2 - 3 x + y 2 + y + z 2 - 2 z = - 7 2 ⟹

    x 2 - 3 x + 9 4 + y 2 + y + 1 4 + z 2 - 2 z + 1 = - 7 2 + 9 4 + 1 4 + 1 ⟹

    x - 3 2 2 + y + 1 2 2 + z - 2 2 = 0

    A equação não representa uma esfera.

  7. Dividindo toda a equação por 4, temos

    8. x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 2 y - 2 z = - 5 2 ⟹

    x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 + z 2 - 2 z + 1 = - 5 2 + 1 + 1 + 1

    x - 1 2 + y - 1 2 + z - 1 2 = 1 2

    Logo, o centro é C = 1,1 , 1 e o raio r = 1 / 2 .

  8. Vamos passar para a forma reduzida:

    9. x 2 - 2 x + y 2 + 4 y + z 2 = - 15 ⟹

    x 2 - 2 x + 1 + y 2 + 4 y + 4 + z 2 = - 15 + 1 + 4 ⟹

    x - 1 2 + y + 2 2 + z 2 = - 10

    Tal resultado é impossível. Logo, a equação não representa uma esfera.

  9. Vamos passar para a forma reduzida:

x 2 - 2 x + y 2 + 4 y + z 2 = - 5 ⟹

x 2 - 2 x + 1 + y 2 + 4 y + 4 + z 2 = - 5 + 1 + 4 ⟹

x - 1 2 + y + 2 2 + z 2 = 0

Note que r 2 = 0 ∴ r = 0 , o que impede que o conjunto seja uma esfera. Note, que tal equação representa apenas as coordenadas do centro da esfera.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine o centro e o raio da circunferência, interseção da superfície esférica x 2+y 2+ z 2- 2 x- 4 y+6 z+4=0 com o plano 2 x- y- z+3=0 .
Escreva as equações dos planos tangentes à superfície esférica x 2+y 2 + z 2- 2 x- 5= 0 e que são perpendiculares à reta x - 1 2= y= z - 1 .
Calcule a de modo que o plano x+ y+ z=a seja tangente à superfície esférica x 2+y 2 + z 2- 2 x+ y- 2 z= 6 .
Determine uma equação da superfície esférica que tem centro na reta y=2 x- 3 ⎨ z=x- 1 e que passa pelos pontos A =( 3,6 , - 1 ) e B =( 5,0 , 7 ) .
Determine o centro e o raio da circunferência x 2+y 2+ z 2- 2 x+4 y- 6 z+ 5=0 ⎨ x+y- z+1= 0