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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 27

Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E 3 que são equidistantes de P = 1,1 , 0 e π : z + 2 = 0 , e identifique-o.

Passo 1

Esta questão é bem direta ao ponto. Seja um ponto X = x , y , z ∈ E 3 . Queremos identificar os pontos X que satisfazem a seguinte relação de equidistância:

d X , P = d X , π

Nosso trabalho então é desenvolver a relação acima até chegar a alguma equação e depois identificar qual é o lugar geométrico dos pontos X .

Passo 2

Agora, vamos desenvolver a relação de distâncias. Portanto,

d X , P = d X , π

x - 1 2 + y - 1 2 + z 2 = z + 2 0 2 + 0 2 + 1 2

x - 1 2 + y - 1 2 + z 2 = z + 2

Vamos elevar ambos os membros ao quadrado para eliminarmos a raiz e o módulo. Portanto,

x - 1 2 + y - 1 2 + z 2 2 = z + 2 2

x - 1 2 + y - 1 2 + z 2 = z + 2 2

Desenvolvendo o termo do z apenas, temos:

x - 1 2 + y - 1 2 + z 2 = z 2 + 4 z + 4

x - 1 2 + y - 1 2 = 4 z + 4

x - 1 2 + y - 1 2 = 4 z + 1

x - 1 2 4 + y - 1 2 4 = z + 1

E esta é a nossa equação!

Passo 3

Nosso trabalho agora é identificar que lugar geométrico é este. Uma dica é fazer uma mudança de variáveis para tirar as subtrações dos numeradores. Para isto, vamos fazer:

x 1 = x - 1 y 1 = y - 1 z 1 = z + 1

E com isto, obtemos:

x 1 2 4 + y 1 2 4 = z 1

E agora? Já conseguem identificar? Temos um paraboloide de rotação! E assim finalizamos a questão!

Resposta

x - 1 2 4 + y - 1 2 4 = z + 1

Paraboloide de rotação.

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