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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 10a

Obtenha uma equação da superfície gerada pela rotação da curva Γ em torno da reta r .

  1. Γ : x 2 + 2 y 2 = 1 y - z = 0 r : x = z - 1 = 0
  2. Γ : x - 1 = y z = 0 r : x = y = z
  3. Γ : x - y = 0 z = 0 r : x = y = z

Passo 1

Precisamos obter uma superfície de revolução obtida pela rotação de Γ em torno de r .

Antes de podermos montar o sistema de equação que caracteriza a superfície Ω , vamos escrever a reta r na sua forma vetorial, pois precisamos de um ponto seu e do seu vetor diretor.

A reta r é dada por:

r : x = 0 z - 1 = 0 ⟹ r : x = 0 z = 1

Portanto, a reta r possui a seguinte equação vetorial:

r : X = x , y , z

r : X = 0 , y , 1

r : X = 0 , 0 , 1 + 0 , y , 0

r : X = 0 , 0,1 + y 0,1 , 0

r : X = 0 , 0 , 1 + λ 0,1 , 0

Por fim, o vetor diretor da reta r é r → = 0,1 , 0 e vamos utilizar o ponto A = 0,0 , 1 da reta.

Passo 2

Agora que obtemos um ponto da reta e seu vetor diretor, já podemos montar o sistema de equações que precisamos resolver.

Para isto, começamos definindo um paralelo. Ele é uma circunferência. Logo, obtido através da interseção de uma superfície esférica e de um plano! Mas qual superfície esférica? E qual plano?

Continuando, o paralelo é uma circunferência centrada na reta r (algum ponto de r será o centro da superfície esférica) e continua em um plano perpendicular a r (vetor diretor da reta será o vetor normal do).

Portanto, ao utilizarmos A = 0,0 , 1 e r → = 0,1 , 0 , o paralelo será dado por:

x 2 + y 2 + z - 1 2 = ρ 2 y = λ

Continuando, seja X um ponto de coordenadas X = x , y , z . Ele pertence a Ω se, e somente se, X pertence a um paralelo que passa por um ponto Q = u , v , w , ponto este que pertence a curva Γ .

Bom, temos três informações importantes do texto acima. Elas são:

  • X = x , y , z pertence ao paralelo, logo, satisfaz o sistema de equação (2 equações);
  • Q = u , v , w pertence ao paralelo, logo, satisfaz o sistema de equação (2 equações);
  • Q = u , v , w pertence a Γ , logo, satisfaz o sistema de equação (2 equações);

No total, temos 6 equações, e o seguinte sistema para resolver:

x 2 + y 2 + z - 1 2 = ρ 2 y = λ u 2 + v 2 + w - 1 2 = ρ 2 v = λ u 2 + 2 v 2 = 1 v - w = 0

Percebam que as equações de Q pertencentes ao paralelo e a Γ foram obtidas ao substituirmos no lugar de x , y e z as coordenadas u , v e w do ponto Q .

Passo 3

Nosso trabalho agora é conseguir resolver o sistema de 6 equações, obtendo assim uma única equação sem os parâmetros livres λ e ρ . Então, vamos ao sistema.

Nosso objetivo será conseguir relacionar ρ 2 com λ , inicialmente. Depois, iremos substituir a relação λ = y , da segunda equação no nosso sistema.

Já com uma função ρ 2 = f x , y , z , substituímos na primeira equação e assim conseguimos uma equação livre de parâmetros.

Sendo assim, a partir da quarta equação, sabemos que λ = v . Associando a sexta equação, temos v = w = λ .

Substituindo v = λ na quinta equação, temos:

u 2 + 2 v 2 = 1

u 2 + 2 λ 2 = 1

u 2 = 1 - 2 λ 2

Vamos manter assim para substituir na terceira equação e conseguir relacionar ρ 2 com λ . Portanto,

u 2 + v 2 + w - 1 2 = ρ 2

1 - 2 λ 2 + λ 2 + λ - 1 2 = ρ 2

1 - λ 2 + λ 2 - 2 λ + 1 = ρ 2

2 - 2 λ = ρ 2

2 - 2 y = ρ 2

Portanto,

x 2 + y 2 + z - 1 2 = ρ 2

x 2 + y 2 + z - 1 2 = 2 - 2 y

x 2 + y 2 + 2 y + z - 1 2 = 2

x 2 + y 2 + 2 y + 1 - 1 + z - 1 2 = 2

x 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = 3

Passo 4

Para finalizarmos, basta escrevermos as restrições dos parâmetros livres λ e ρ (consequentemente, do sistema). Logo

u 2 = 1 - 2 λ 2 = 1 - 2 y 2 ≥ 0 ρ 2 = 2 - 2 λ = 2 - 2 y ≥ 0

Da primeira equação, temos:

2 y 2 ≤ 1 ⟹ y 2 ≤ 1 2 ⟹ - 1 2 ≤ y ≤ 1 2

Já da segunda, temos:

2 y ≤ 2 ⟹ y ≤ 1

Obtendo a interseção das restrições, teremos a seguinte solução da questão:

Ω : x 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = 3                                           - 1 2 ≤ y ≤ 1 2  

Resposta

Ω : x 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = 3                                           - 1 2 ≤ y ≤ 1 2  

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Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. x 2 4 + y 2 16 = 1 ; z = 0 ; e i x om a i o r .
Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.
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