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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 12.5 - Ex. 52

Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles.

2 z = 4 y - x , 3 x - 12 y + 6 z = 0

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que o produto escalar entre dois vetores é zero quando eles são perpendiculares entre si?

v → 1 ⋅ v → 2 = 0 (teste 1 )

E que o produto vetorial entre dois vetores é zero quando esses vetores são paralelos?

v → 1 × v → 2 = 0 (teste   2 )

Pois é! São esses dois testes que podemos fazer para saber se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois.

Daí você se pergunta, mas como? Eu respondo: pelos vetores diretores dos planos! Se esses vetores forem paralelos, os planos também vão ser. O mesmo vale para a condição de perpendicularidade.

Tá, e quando os dois testes falharem? Bom, daí a gente recorre para a fórmula extensa do produto escalar:

cos ⁡ θ = v → 1   ⋅ v → 2 | v → 1 | | | v → 2 | |

Mas só se os dois primeiros forem inconclusivos, ta?

Mas calma! Vamos calcular cada coisa de cada vez!

Vamos começar?

Passo 2

Vou começar por denominar os planos e seus respectivos vetores diretores:

π 1 : - x + 4 y - 2 z = 0 , e seu vetor: v → 1 =   ( - 1 , 4 , - 2 )

π 2 : + 3 x - 12 y + 6 z = 0 , e seu vetor: v → 2 =   ( 3 , - 12,6 )

  • Teste 1 :

    • v → 1 ⋅ v → 2 = - 1,4 , - 2 ⋅ 3 , - 12,6 = - 3 - 48 - 12 ≠   0

    O primeiro teste não deu certo, vamos para o segundo?

    Passo 3

  • Teste 2 :

v → 1 × v → 2 = i → j → k → - 1 4 - 2 3 - 12 6 = i → 24 - 24 + j → - 6 + 6 + k → + 12 - 12 = 0 →

Olha! O segundo teste deu certo! Se o produto vetorial entre os vetores é zero significa que os vetores são paralelos! Sendo assim os planos também são paralelos entre si =D

Vamos pra próxima?

Resposta

p a r a l e l o s

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