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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 12.5 - Ex. 48

Onde a reta que passa pelos pontos ( 1,0 , 1 ) e ( 4 , - 2,2 ) intercepta o plano x + y + z = 6 ?

Passo 1

Olá, tudo bem? O ponto de intersecção é aquele no qual as coordenadas da reta satisfazem a equação do plano. Vamos primeiro determinar a equação da reta.

Para equacionar a reta precisamos de um ponto (podemos escolher entre os dois dados no enunciado) e um vetor que seja paralelo a ela. Esse vetor pode ser o que liga os dois pontos do enunciado:

v → = 1,0 , 1 - 4 , - 2,2 = ( - 3,2 , - 1 )

A ordem aqui só irá modificar o sentido do vetor, e não sua orientação em relação à reta, então tá tudo certo!

Agora que temos o vetor, podemos equacionar a reta. Vou escolher o ponto ( 1 , 0,1 ) por simplicidade. Se você quiser escolher o outro, não tem problema algum!

As equações para as coordenadas são:

x = x 0 + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t

Onde x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas do ponto e a , b , c são as componentes do vetor. Agora é só substituir:

x = 1 - 3 t y = 0 + 2 t z = 1 - 1 t

Passo 2

Quase lá! Agora que temos as equações da reta em relação ao parâmetro t , vamos substituir x , y   e   z na equação do plano:

x + y + z = 6

1 - 3 t + 2 t + 1 - t = 6

- 2 t = 6 - 2

t = - 2

Beleza! Encontramos que t = - 2 é o parâmetro que satisfaz a equação! Agora só falta saber que ponto é esse!

Passo 3

Para saber as coordenadas do ponto, é só substituir t = - 2 nas equações para as coordenadas, assim:

x = 1 - 3 ( - 2 ) = 7

y = 2 - 2 = - 4

z = 1 - ( - 2 ) = 3

O ponto de interseção vai ser ( 7 , - 4,3 )

Vamos pra próxima?

Resposta

( 7 , - 4,3 )

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