Obtenha equações das retas que contém o ponto e são tangentes a hipérbole de equação . Determine os pontos de tangência e a reta normal em cada um deles.

Já para achar a equação da reta tangente, bem... nós temos o ponto e os pontos de tangência. Começando pelo ponto de tangência nós podemos aplicar esse ponto na equação da reta igual a:

E que vai dar

Agora aplicando teremos:

Diminuindo a primeira da segunda nós teremos:

Portanto:

Então a primeira reta tangente terá equação de:

Agora aplicando o ponto na equação

Com um sistema com:

Por conta do ponto nós teremos:

Portanto:

Então a equação fica:

Multiplicando tudo por 2 teremos:

Uma forma melhor de escrever talvez seja:

A reta normal é uma reta que está perpendicular a reta tangente portanto o coeficiente angular das duas retas seguem a seguinte regra:

Portal o coeficiente angular da reta normal na primeira equação de fórmula igual a , terá um valor de:

Portanto ela terá uma cara igual a:

E essa equação também se encontra com o ponto , então:

Então:

Pra ter uma melhor visualização nós teremos o seguinte gráfico com as duas retas:

Agora a reta normal para

No ponto :

Essa equação pode ser escrita como:

Portanto a equação da reta normal pode ser escrita como:

Se aplicarmos o ponto nós teremos:

Então a equação da reta normal será:

E o gráfico dessas duas retas serão: