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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 26

Sejam r : X   1 ,   0 ,   0 + λ 1 ,   1 ,   0 e s : X = 0 ,   0,1 + λ 0 ,   1 ,   1

  1. Mostre que essas retas são concorrentes.
  2. Obtenha equações na forma simétrica da reta perpendicular comum a r e s.

Passo 1

Let’s gooo turmaa !!

Então galera, para mostrarmos que as retas são concorrentes basta mostrar que existe uma interseção entre elas.

Supondo que isto ocorre nos valores λ R   e λ S :

1 ,   0 ,   0 + λ R 1 ,   1 ,   0 = 0 ,   0,1 + λ S 0 ,   1 ,   1

1 + λ R ,   λ R , 0 = 0 , λ S , 1 + λ S

Concluímos que:

1 + λ R = 0         →             λ R = - 1

λ S = λ R             →         λ S = - 1

Substituindo no ponto P:

P = 0 , - 1 , 0

Passo 2

Na letra (b), a reta perpendicular as retas r e s deve possuir vetor direção perpendicular aos vetores direção das retas r e s.

Para isso nós podemos utilizar o produto escalar nulo. Se:

p → = ( x ,   y ,   z )

Então:

p → × r → = x ,   y ,   z × 1 ,   1 ,   0 = 0

x + y = 0

E para s:

p → × s → = x ,   y ,   z × 0 ,   1 ,   1 = 0

y + z = 0

Das condições acimas:

x + y = 0

y + z = 0

Nós concluímos que:

x = - y = z = t

p → = ( 1 , - 1,1 )

Com isto nós podemos obter a equação vetorial da reta:

p : X = 0 , - 1,0 + t ( 1 ,   - 1,1 )

Ou melhor:

x = t

y = - 1 - t → t = - 1 - y

z = t  

Agora é só reescrever:

p : x = - 1 - y = z

E é isso aí !!!

Resposta

  1. P = 0 , - 1,0 ;
  2. p : x = - 1 - y = z .
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