Determine a projeção ortogonalDa origem O ( 0 ,0,0 ) sobre reta interseção dos planos π 1 : 1 ,1 ,1 + λ 1 ,0 ,1 + μ ( 0 ,1 ,1 ) e π 2 : x + y + z = 1 .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 23b

Determine a projeção ortogonal

Da origem sobre reta interseção dos planos e

Passo 1

Bora seguir pra (b) que é um pouquinho diferente da anterior!!

Para o primeiro plano nós temos que:

Então, x, y e z ficam assim:

Um plano que atende a estas condições será:

Agora que temos os dois planos nós podemos fazer a interseção entre eles e achar a reta:

Então nossa reta será:

Que na forma vetorial pode ser escrita como:

Passo 2

Nós queremos obter a projeção ortogonal da origem sobre a reta que acabamos de achar, certo?

Para isso basta nós tomarmos um ponto genérico P da reta e obter o vetor e utilizar a condição do produto escalar nulo com o vetor direção da reta que nós encontramos.

Um ponto P que satisfaz as condições da reta é:

O vetor será dado por:

E agora aplicando a condição do produto escalar nulo:

Então o ponto P será:

Então a projeção de O sobre a reta é o ponto P !!

Tranquilinha ?!

Resposta

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Calcule o volume do tetraedro (SO) determinado pelas retas r ,s ,t e pelo plano π , nos casos:(b) π : x + y - z + 1 = 0 r : x = y = z + 1s : x + y = 0 = z + 1t : x + y - z = 1 = x + 1

Calcule o volume do tetraedro (SO) determinado pelas retas r ,s ,t e pelo plano π , nos casos:(a) r : x + y + z - 5 = 0 r : x = z = 0 s : x = y = 0 t : x - 2 y = z = 0

Verifique, que em cada caso, se existe uma reta s paralela a r e contida em π : x - 2 y + 3 z = 0 .(a) r : X = 0 ,1 ,1 + λ ( 1 , - 1 , - 1 ) e s contém P = ( 2 ,1 ,0 ) .

Calcule o volume do tetraedro (SO) determinado pelas retas r ,s ,t e pelo plano π , nos casos:(c) r : x - y + z = 0r : x = y = z s : x = y = 1 t : X = 1 ,2 ,3 + λ ( 0 ,2 ,1 )

Obtenha uma equação vetorial da reta h paralela ao plano π : x + y + z = 0 , concorrente com as retas r : X = 0 ,0 ,2 + α 1 ,1 ,1 ,s : X = 2 ,0 ,- 5 e t : X = - 3 , - 3 ,3 + γ ( 1 ,0 ,2 ) .