Sejam π : x + y - z = 3 e a reta r que contém os pontos A 1 ,   0 ,   0   e   B   0 ,   - 1 ,   - 1 . Obtenha uma equação vetorial da reta simétrica r em relação a π .

Passo 1

Bora continuar galerinhaa !!

Com a equação do plano nós podemos achar:

N → = ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Com isto nós podemos definir as retas perpendiculares ao plano que passam pelos pontos A e B. Tais retas possuem o vetor direção igual ao vetor normal ao plano, ok?

r A :   A = 1 ,   0 ,   0 + λ ( 1 ,   1 ,   - 1 )

r B :   B = 0 ,   - 1 ,   - 1 + λ ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Para determinarmos as coordenadas da projeção ortogonal dos pontos A e B sobre o plano nós precisamos encontrar as interseções entre os planos e as retas que nós definimos, ok?

Mas antes vamos reescrever:

r A : x = λ A + 1 ;                 y = λ A ;                 z = - λ A

r B : x = λ B ;         y = λ B - 1 ;     z = - λ B - 1

Substituindo x, y e z em função de λ A e λ B na equação do plano:

x + y - z = 3

λ A + 1 + λ A + λ A = 3

3 λ A = 2

λ A = 2 3

E a próxima:

λ B + λ B - 1 - ( - λ B - 1 ) = 3

3 λ B = 3

λ B = 1

Substituindo para achar os pontos:

A ' = 2 3 + 1 ,   2 3 , - 2 3 = 5 3 ,   2 3 , - 2 3

B ' = 1 ,   1 - 1 , - 1 - 1 = 1 ,   0 , - 2

Com isso nós podemos achar os pontos simétricos obtidos por:

A s = A ' - A ' A → = A ' - ( A - A ' )

A s = 5 3 ,   2 3 , - 2 3 - 1 ,   0 ,   0 - 5 3 ,   2 3 , - 2 3

A s = 5 3 ,   2 3 , - 2 3 - - 2 3 ,   - 2 3 ,   2 3

A s = 7 3 ,   4 3 , - 4 3

E o próximo:

B s = B ' - B ' B → = B ' - ( B - B ' )

B s = 1 ,   0 , - 2 - 0 ,   - 1 ,   - 1 - 1 ,   0 , - 2

B s = 1 ,   0 , - 2 - - 1 ,   - 1 ,   1

B s = 2 ,   1 , - 3

Então a reta simétrica é obtida pela reta que passa pelos pontos simétricos:

r s = 2 ,   1 , - 3 + λ 7 3 ,   4 3 , - 4 3 - 2 ,   1 , - 3

r s = 2 ,   1 , - 3 + λ 1 3 ,   1 3 , 5 3

E fiiiim !!

Resposta

r s = 2 ,   1 , - 3 + λ 1 3 ,   1 3 , 5 3

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