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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 14f

f) Qual o ponto P de π 1 que está mais próximo da origem?

Passo 1

Primeiramente, sabemos que a origem é o ponto O = (0, 0, 0). Assim, podemos descobrir um vetor que liga o ponto P do plano à origem.

Relembrando, a equação do plano é tal que:

π 1 = 3 x + 2 y + 6 z - 6 = 0

Com vetor normal ao plano:

N 1 = ( 3 ,   2 ,   6 )

Passo 2

Da questão 4.2.14 (a), sabemos que nesse ponto está incluso um ponto A = (10/3, 1, -1). Podemos usar esse ponto para acharmos o vetor que liga um ponto P à origem, de forma que:

O A → = ( 10 3 , 1 ,   - 1 )

O P → = p r o j N 1 O A →

Ou seja, O P → é projeção ortogonal de O A → no vetor normal ao plano.

p r o j N 1 O A → = N 1 ∙ O A → N 1 2 N 1

Passo 3

Resolvendo a fórmula acima por partes:

N 1 ∙ O A → = 3 ∙ 10 3 + 2 ∙ 1 + 6 ∙ - 1 = 10 + 2 - 6 = 6

N 1 2 = 3 2 + 2 2 + 6 2 = 9 + 4 + 36 = 49

N 1 ∙ O A → N 1 N 1 = 6 49 3 ,   2 ,   6 = ( 18 49 , 12 49 ,   36 49 )  

Resposta

P = ( 18 49 , 12 49 ,   36 49 )

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano π 1 que passa por A = (10/3, 1, -1), B = (1, 9/2, -1) e C = (1, -1, 5/6).
Dados A = (0, 2, 1), r: X = (0, 2, -2) + t(1, -1, 2), ache os pontos de r que distam 3 de A. A distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual à 3 ? Por que?
Dada a reta r: X = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1) e os pontos A = (1, 1, 1) e B = (0, 0, 1), ache o ponto de r equidistante de A e B.
Seja r 1 a reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 2, 0) e r 2 a reta: x - 2 = y - 3 2 = z - 4 3 Encontre as equações da reta perpendicular às retas r 1 e r 2 .
Encontre o ângulo entre o plano 2x – y + z = 0 e o plano que passa pelo ponto P = (1, 2, 3) e é perpendicular ao vetor i → - 2 j → + k → .