f) Qual o ponto P de π 1 que está mais próximo da origem?

Passo 1

Primeiramente, sabemos que a origem é o ponto O = (0, 0, 0). Assim, podemos descobrir um vetor que liga o ponto P do plano à origem.

Relembrando, a equação do plano é tal que:

π 1 = 3 x + 2 y + 6 z - 6 = 0

Com vetor normal ao plano:

N 1 = ( 3 ,   2 ,   6 )

Passo 2

Da questão 4.2.14 (a), sabemos que nesse ponto está incluso um ponto A = (10/3, 1, -1). Podemos usar esse ponto para acharmos o vetor que liga um ponto P à origem, de forma que:

O A → = ( 10 3 , 1 ,   - 1 )

O P → = p r o j N 1 O A →

Ou seja, O P → é projeção ortogonal de O A → no vetor normal ao plano.

p r o j N 1 O A → = N 1 ∙ O A → N 1 2 N 1

Passo 3

Resolvendo a fórmula acima por partes:

N 1 ∙ O A → = 3 ∙ 10 3 + 2 ∙ 1 + 6 ∙ - 1 = 10 + 2 - 6 = 6

N 1 2 = 3 2 + 2 2 + 6 2 = 9 + 4 + 36 = 49

N 1 ∙ O A → N 1 N 1 = 6 49 3 ,   2 ,   6 = ( 18 49 , 12 49 ,   36 49 )  

Resposta

P = ( 18 49 , 12 49 ,   36 49 )

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