Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 23b

Seja ax + by + cz + d = 0 a equação de um plano π com acbcd ≠ 0.

b) Se P 1 = ( p 1 ,   0 ,   0 ) , P 2 = ( 0 , p 2 ,   0 ) e P 3 = ( 0 ,   0 ,   p 3 ) são as interseções de π com os eixos, a equação de π pode ser posta sob a forma

x p 1 + y p 2 + z p 3 = 1

Passo 1

Para demonstrarmos que a equação do plano pode ser escrita da forma:

x p 1 + y p 2 + z p 3 = 1

Vamos partir dela e chegar na equação mais conhecida:

ax + by + cz + d = 0

Da questão 23 (a), sabemos que

p 1 = - d a

p 2 = - d b

p 3 = - d c

Passo 2

Dessa forma, substituindo os pontos:

x - d a + y - d b + z - d c = 1

Reorganizando a equação:

- a x d - b y d - c z d = 1

Como todos os termos do lado esquerdo possuem o mesmo denominador, podemos escrever:

- a x - b y - c z d = 1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por d:

- a x - b y - c z = d

Subtraindo d de ambos os lados:

- a x - b y - c z - d = 0

Multiplicando tudo por -1:

a x + b y + c z + d = 0

Resposta

Demonstração ao longo dos passos.

Gostou da nossa resolução? Responde Aí!

Exercícios de Livros Relacionados

Ache as equações da reta que passa pelo ponto P = (1, 0, 1) e é paralela aos planos 2x + 3y + z +1 = 0 e x – y + z = 0
b) Ache equações da reta que passa pelo ponto A = (1, 0, 1) e intercepta a reta r ortogonalmente.
Calcule a e b para que a reta r esteja contida no plano π . Dados: r:x - 2 8 = y + 2 a = z - b 4 e π { a x+ 8 y - 16 z+12=0 .
Verifique se a reta ⎧x= 1 - 3 α⎧ r⎢y= 2+ α ⎢ ⎩z= 1-2 α⎩ está contida no plano determinado pelos pontos ( 1,0 , - 1 ) , ( 2,1 , 1 ) e ( 0,3 , 1 ) .
Dados A=( 2,1 , - 3 ) , s : {x - 1 1 = y - 1 = z + 3 2 e π { 3 x + 3 y - z + 3 = 0 , escreva equações da reta r que passa por P , intercepta s e é paralela a π .