Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 58a

Determinar uma equação da curva descrita por um ponto que se move, de modo que sua distância ao ponto seja:

Igual a sua distância à reta ;

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Aqui diz que a distância do ponto até a curva (com ponto genérico) é igual a distância do ponto até a reta . Então vou colocar em forma matemática:

Então a ideia aqui é escrever a distância do ponto dado ao ponto genérico (fórmula da distância entre dois pontos), assim vamos ficar com e como variáveis.

Depois vamos usar a fórmula da distância entre um ponto e a reta (aqui usar o ponto genérico e a reta dada).

Achadas essas duas quantidades, é só substituir ali em cima e reorganizar os termos até encontrar uma equação. Lembrando que se os sinais dos tivermos quadráticos forem iguais, temos uma elipse, se forem diferentes, teremos uma hipérbole. E se não tivermos algum termo quadrático, isso configura uma parábola.

Beleza até aqui?

Vamos começar?

Passo 2

Primeiro vamos calcular a distância entre dois pontos:

Agora temos que e o ponto genérico vai ser nossa equação. Substituindo temos:

Passo 3

Agora vou calcular a distância do ponto até a reta . Vamos relembrar da fórmula geral:

Aqui temos que são os coeficientes da equação geral da reta. No nosso caso temos que e e . O ponto é aquele ponto genérico que já mencionei antes, substituindo temos:

Passo 4

Agora vou resgatar a condição do passo :

Temos que e , agora vamos substituir:

Elevando dos dois lados ao quadrado:

Agora precisamos abrir esses produtos notáveis:

E colocar tudo pro mesmo lado e juntar os termos semelhantes:

Pronto! Conseguimos escrever a equação! Como só temos uma variável ao quadrado (notem que o foi eliminado naturalmente ali em cima), o , então temos uma parábola.