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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.3.Problemas Propostos - Ex. 31c

Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações:

y 2 - 8 x + 6 y + 17 = 0

Passo 1

Vamos começar analisando a equação dada:

y 2 - 8 x + 6 y + 17 = 0

Aqui temos apenas um y ao quadradado, indicando que se trata de uma parábola em y . Isolando os termos em comum:

y 2 + 6 y - 8 x = - 17

Completando os quadrados, teremos:

y 2 + 6 y + 3 2 - 3 2 - 8 x = - 17

y + 3 2 = - 17 + 8 x + 9

y + 3 2 = 8 x - 8

y + 3 2 = 8 ( x - 1 )

A equação de translação pode ser dada por:

x ' = ( x - 1 )

y ' = ( y + 3 )

y ' 2 = 8 x '

Passo 2

A equação da parábola em y é dada por:

y - k = 2 p x - h

E teremos d :

d : x = h - p 2

Se a nossa equação é:

y + 3 2 = 8 ( x - 1 )

Então:

2 p = 8

p = 4

Outra coordenada que podemos determinar é h e k que acompanham x e y na equação:

h = 1

k = - 3

Vamos agora calcular F e V :

F h + p 2 , k = 1 + 4 2 , - 3 = ( 3 , - 3 )

V h , k = ( 1 , - 3 )

Com isso, conseguimos esboçar o gráfico.

Passo 3

Resposta

y ' 2 = 8 x ' , parábola, parábola p = 4 , diretriz x = - 1 , F ( 3 , - 3 )

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Ache a equação da parábola que tem vértice na origem, eixo no eixo y e passa pelo ponto ( - 2 ,- 4 ) .
Prove que o comprimento do latus rectum de uma parábola é 4 p .
Para a parábola, ache as coordenadas do foco, a equação da diretriz e o comprimento do latus rectum. Faça um esboço da parábola. y 2 = - 8 x
Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Foco ( 5 ,0 ) ; diretriz x = - 5 .
Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Foco 1 2 ,0 ; diretriz 2 x + 1 = 0 .