Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 7.3.Problemas Propostos - Ex. 23

Em cada um dos problemas 11 a 24, determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.

Centro C ( - 2 , 1 ) , eixo real paralelo a 0 x , passando por ( 0 , 2 ) e ( - 5,6 ) .

Passo 1

O exercício nos fornece a informação de que o centro é parelelo ao eixo x , isso significa que usaremos a primeira referência, onde a equação da hipérbole será dada por:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

O exercício também diz que C ( - 2 , 1 ) e com isso, podemos dizer que:

C = ( h , k )

C = ( - 2 , 1 )

Então:

h = - 2

k = 1

Substituindo na equação teremos:

x + 2 2 a 2 - y - 1 2 b 2 = 1

Passo 2

Uma forma de calcular e encontrar os valores de a e b é aplicar a fórmula intermediária nos pontos, para ( 0,2 ) :

0 + 2 2 a 2 - 2 - 1 2 b 2 = 1

2 2 a 2 - 1 2 b 2 = 1

Isolando b 2 :

4 a 2 - 1 = 1 b 2  

4 - a 2 a 2 = 1 b 2

Multiplicando cruzado, teremos:

b 2 4 - a 2 = a 2

b 2 = a 2 4 - a 2

Passo 3

Ainda temos um outro ponto, o ( - 5 , 6 ) onde substituímos na equação:

- 5 + 2 2 a 2 - 6 - 1 2 b 2 = 1

3 2 a 2 - 5 2 b 2 = 1

9 a 2 - 25 b 2 = 1

Substituindo b 2 encontrado no passo anterior:

9 a 2 - 25 a 2 4 - a 2 = 1

A divisão de frações pode ser dada como:

9 a 2 - 25 4 - a 2 a 2 = 1  

Multiplicando tudo por a 2 :

9 - 25 4 - a 2 = a 2

9 - 100 + 25 a 2 = a 2

- 91 = - 24 a 2

24 a 2 = 91

a 2 = 91 24

Substituindo a 2 na fórmula de b 2 :

b 2 = a 2 4 - a 2 = 91 24 4 - 91 24 = 91 24 96 - 91 24 = 91 24 . 24 5 = 91 5

b 2 = 91 5

Passo 4

Agora que conhecemos a 2 e b 2 podemos colocar na fórmula intermediária:

x + 2 2 a 2 - y - 1 2 b 2 = 1

x + 2 2 91 24 - y - 1 2 91 5 = 1

A divisão de frações pode ser reescrita como:

24 x + 2 2 91 - 5 y - 1 2 91 = 1

Multiplicando por 91:

24 x + 2 2 - 5 y - 1 2 = 91

24 x 2 + 4 x + 4 - 5 y 2 - 2 y + 1 - 91 = 0

24 x 2 + 96 x + 96 - 5 y 2 + 10 y - 5 - 91 = 0

24 x 2 - 5 y 2 + 96 x + 10 y = 0

Resposta

24 x 2 - 5 y 2 + 96 x + 10 y = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que se P ( x ,y ) for um ponto cujas coordenadas satisfazem a equação ( 5 ) , então: F P - - F ' P - = 2 a onde F e F ' são os focos da hipérbole da Figura 2. (Sugestão: use o método similar sug
O custo de produção de uma mercadoria é $12 a menos por unidade numa cidade A do que numa cidade B , sendo a distância entre A e B 100k m supondo que o caminho de entrega da mercadoria seja uma linha
Esboce o gráfico das cônicas a seguir, determinando seus focos, diretrizes e excentricidade. y 2 = - 1 2 x
Esboce o gráfico das cônicas a seguir, determinando seus focos, diretrizes e excentricidade. 3 x 2 - 4 y 2 = 0
Dê as equações da elipse, parábola e hipérbole “centradas” em um ponto P m ,n o plano e com eixos paralelos aos eixos coordenados. Encontre também os seus focos, diretrizes e excentricidade.