Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 31

Se é obtida de , a base canônica de , pela rotação por um ângulo , ache

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Bom, primeiro vamos achar a base . Ela é obtida girando-se os vetores da canônica de no sentido horário. Então é so pegarmos os vetores e e aplicarmos na matriz rotação.

A matriz rotação no sentido horário tem essa forma:

Temos então que:

Portanto:

Portanto:

Agora, para acharmos a matriz mudança de base , vamos escrever os vetores de em função da canônica . Mas a gente sabe que os vetores de qualquer base em função da canônica são eles mesmos, então:

Passo 2

Item :

Para resolver esse item temos:

Portanto:

Passo 3

Agora vamos relacionar as equações e descobrir as incógnitas

A relação , nos dá:

Logo:

Logo:

A relação nos dá:

Logo:

Logo:

Agora que encontramos as incógnitas é só substituir na forma:

Teremos:

Resposta

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Ilustre com um exemplo a proposição: “Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então: dim ⁡ ( U + W ) = dim ⁡ U + dim ⁡ W - dim ⁡ U ⋂ W .”

Sejam W 1 = a cb dt a i sq u ea = deb = c e W 2 = a cb dt a i sq u ea = ceb = d subespaços de M 2,2 a ) Determine W 1 ⋂ W 2 e exiba uma base. b ) Determine W 1 + W 2 . É soma direta? W 1 + W 2 = M 2,2

a ) Dado o subespaço V 1 = x , y , z ∈ R 3 | x + 2 y + z = 0 ache um subespaço V 2 tal que R 3 = V 1 ⊕ V 2 . b ) Dê exemplos de dois subespaços de dimensão dois de R 3 tais que V 1 + V 2 = R 3 . A som

Se I α α ' = 1 0 11 - 1 00 1 - 1 ache : a )v α onde v α ' = - 1 2 3 b )v α ' onde v α = - 1 2 3