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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 27

a ) Dado o subespaço V 1 = x , y , z ∈ R 3 | x + 2 y + z = 0 ache um subespaço V 2 tal que R 3 = V 1 ⊕ V 2 .

b ) Dê exemplos de dois subespaços de dimensão dois de R 3 tais que V 1 + V 2 = R 3 . A soma é direta?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O primeiro passo é calcular os geradores de V 1 :

V 1 = x , y , z ∈ R 3 | x = - 2 y - z

V 1 = x , y , z ∈ R 3 | - 2 y - z , y , z

V 1 = x , y , z ∈ R 3 | ( y - 2,1 , 0 + z ( - 1,0 , 1 )

Assim:

V 1 = - 2,1 , 0 , - 1,0 , 1

V 1 = v 1 , v 2

Para determinar a dimensão de V 1 , tem-se que:

- 2 - 1     1 0     0 1 ~ - 2 0     1 1     0 - 2

Logo:

β = - 2,1 , 0 , 0,1 , - 2

A dimensão de V 1 é 2 .

Portanto:

dim ⁡ V 1 + V 2 = dim ⁡ V 1 + dim ⁡ V 2 - dim ⁡ V 1 ⋂ V 2

Lembrando que:

V 1 ⊕ V 2 ⇒ V 1 ⋂ V 2 = 0

Logo:

dim ⁡ V 1 ⋂ V 2 = 0

3 = 2 + dim ⁡ V 2 - 0

dim ⁡ V 2 = 1

Logo, podemos estabelecer qualquer vetor gerador para V 2 desde que a dimensão seja 1 . Por exemplo:

V 2 = 0,0 , 1

Passo 2

Podemos considerar os subespaços:

V 1 = [ 1,0 , 0 , ( 0,1 , 0 ) ]

E:

V 2 = 1,0 , 0 , 0,0 , 1

Temos que:

dim ⁡ V 1 + V 2 = dim ⁡ V 1 + dim ⁡ V 2 - dim ⁡ V 1 ⋂ V 2

A dimensão de V 1 é 2 e a dimensão de V 2 também.

A interseção é:

V 1 ⋂ V 2 = ( 1,0 , 0 )

Portanto de dimensão 1 .

Logo:

dim ⁡ V 1 + V 2 = 2 + 2 - 1

dim ⁡ V 1 + V 2 = 3

Portanto:

V 1 + V 2 = R 3

Resposta

a ) V 2 = 0,0 , 1

b ) V 1 = [ 1,0 , 0 , ( 0,1 , 0 ) ]

V 2 = 1,0 , 0 , 0,0 , 1

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Prove: qualquer subespaço de um espaço vetorial de dimensão finita tem dimensão finita.
Sando a notação do Exercício 18, mostre que se os vetores v 1 → , … , v → r gerarem V , então os vetores de coordenadas v 1 → s , … , v → r s geram R n e reciprocamente.
Enuncie as duas partes do Teorema 4.5.2 em forma contrapositiva.
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