No paralelepípedo A B C D E F G H representado na figura, a área da base A B C D é 6 3 e a aresta G C tem comprimento 4 . O ângulo C G ^ P mede 30 ° ( G P é perpendicular ao plano A B C ) e o ponto M é tal que 3 A M → = 2 A B → . Calcule A M → ,   A D → ,   G C → , sabendo que V ³ está orientado por uma base sinistra.

Passo 1

Antes de tudo vamos lembrar: uma base sinistra não quer dizer que ela é irada hahaha quer dizer que ao invés de obedecer a regra da mão direita, ela obedece a regra da mão esquerda?

Sabemos que:

A M → ,   A D → ,   G C → = A M → ∧ A D → . G C → . cos ⁡ θ

Onde θ é o ângulo que G C → forma com A M → ∧ A D → .

Porém, sabemos que A M → = 2 3 A B → , então:

A M → ,   A D → ,   G C → = 2 3 A B → ∧ A D → . G C → . cos ⁡ θ

A M → ,   A D → ,   G C → = 2 3 A B → ∧ A D → . G C → . cos ⁡ θ

Passo 2

Vamos pensar uma coisa: como A M → , A D → são vetores diretores do plano da base, o produto vetorial deles é um vetor normal do plano não é? Então é paralelo a P G .

Então, o ângulo θ que queremos é o ângulo C G ^ P = 30 °

A M → ,   A D → ,   G C → = 2 3 A B → ∧ A D → . G C → . cos ⁡ 30 °

A B → ∧ A D → é a área do paralelogramo da base, ou seja, 6 3 .

E G C → , de acordo com o enunciado, vale 4 :

A M → ,   A D → ,   G C → = 2 3 6 3 . 4 . cos ⁡ 30 °

A M → ,   A D → ,   G C → = 16 3 . 3 2

Então:

A M → ,   A D → ,   G C → = 24

Resposta

A M → ,   A D → ,   G C → = 24

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