Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 5
Obtenha equações da reta que contém o ponto e é concorrente com , sabendo que o cosseno da medida angular entre e é igual a .
Passo 1
Seja o vetor diretor da reta que queremos. Precisamos achar esse vetor para encontrarmos nossa reta não é?
O vetor diretor da reta , de acordo com sua equação, é . Como o cosseno entre as duas retas é , temos:
Racionalizando:
Do numerador, temos:
E do denominador:
Agora vamos usar as outras informações que temos :P
Passo 2
O enunciado diz que as duas retas são concorrentes, então, dado , ponto de , , ponto de , o determinante da tripla deve ser 0. Sabemos que:
Então vamos calcular o determinante:
Daí temos:
Passo 3
Das 3 equações que encontramos, temos o sistema:
Da terceira equação, temos .
Substituindo na primeira equação, ficamos com
Substituindo na segunda equação:
Passo 4
Resolvendo essa equação por Bhaskara, encontramos:
Como , temos também:
E como , temos:
Então, vamos ter duas opções para a reta : uma com o vetor diretor e outra com o vetor diretor .
Passo 5
A primeira opção para a reta é:
E a segunda opção:
OBS: essas equações de reta são as mesmas do gabarito do seu livro viu? Só que os vetores diretores estão multiplicados respectivamente pelos escalares e