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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 25

Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa pelos pontos P ,   Q ,   R e calcule a área do trângulo P Q R .

P 1,0 , 0

Q 0,2 , 0

R 0,0 , 3

Passo 1

Como o plano contém esses três pontos, podemos definir dois vetores que estão no plano fazendo:

P Q → = 0,2 , 0 - 1,0 , 0 = ( - 1,2 , 0 )

P R → = 0,0 , 3 - 1,0 , 0 = ( - 1,0 , 3 )

Certo?

Passo 2

Se temos dois vetores que estão no plano e queremos um vetor que seja perpendicular ao plano, significa que queremos um vetor que seja perpendicular simultaneamente a esses dois vetores que estão no plano.

ORA BOLOTAS, vamos fazer um produtinho escalar entre esses vetores então e a gente encontra um vetor não nulo perpendicular a eles dois!!

P Q → × P R →   = i j k - 1 2 0 - 1 0 3 = 2 0 0 3 i - - 1 0 - 1 3 j + - 1 2 - 1 0 k

P Q → × P R →   = i j k - 1 2 0 - 1 0 3 = 2.3 - 0.0 i - ( - 1.3 - 0 . ( - 1 ) ) j + - 1.0 - 2 . - 1 k

P Q → × P R →   = i j k - 1 2 0 - 1 0 3 = 6   i + 3   j + 2   k

P Q → × P R → = ( 6,3 , 2 )

E esse é o vetor ortogonal ao plano que queríamos! Ou qualquer vetor múltiplo desse também serve!

Passo 3

Agora para saber a área do triângulo P Q R , acompanha aqui meu raciocínio...

A gente sabe calcular a área de um paralelogramo formado por dois vetores usando o produto vetorial entre esses dois vetores.

Um paralelogramo é formado por dois triângulos encaixados um no outro, certo?

Então se a gente imaginar o triângulo P Q R como a METADE de um paralelogramo, podemos dizer que a área dele é igual a METADE da área do paralelogramo formado pelos vetores P Q → e P R → .

E essa área a gente sabe calcular.

Vamos fazer isso?

A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial entre os vetores que formam os lados do paralelogramo. Assim, a área do triângulo que estamos procurando é

A = 1 2 P Q → × P R → = ( 6,3 , 2 ) = 1 2 6 2 + 3 2 + 2 2 = 1 2 36 + 9 + 4

A = 1 2 49 = 7 2

Resposta

( 6,3 , 2 )

A = 7 2

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Sejam ( a → ,b → ,c → ) uma base positiva, u → = a → ∧ b → ,v → = ( a → + b → ) ∧ c → e w → = ( b → ∧ a → ) ∧ a → .(b) Calcule o volume de um paralelepípedo cujas arestas são paralelas a u → ,v → e w
Dados vec u , vec v e vec w , sejam E = (vec u , vec v , vec w) e F = (vec u ^^ vec v , vec v ^^ vec w , vec w ^^ vec u) . Prove que (c) E é base= F é base;
As arestas AB, AD e AE do paralelepípedo retângulo mostrado na Figura 12-6(a) medem, respectivamente 1, 2 e 2. R é ponto médio de AB, e a base G H → ,G F → ,G C → é positiva.(a) Calcule D E → ,D R → ,
Dado o tetraedro O A B C , sejam M ,N e P , respectivamente, os pontos que dividem A , B ,( B , C ) e ( C ,A ) na razão 2. Calcule o quociente entre os volumes dos tetraedros O A B C e O M N P .
Seja E uma base ortonormal positiva.(c) Resolva o Exercício 12-9 no caso em que a = 2 ,b = 3 ,c = 3 ,α = 30 ° ,β = 45 ° ,γ = 60 ° , utilizando a igualdade do item (b).