Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa pelos pontos P, Q, R e calcule a área do trângulo PQR .

P(1,0, 0)

Q(0,2, 0)

R(0,0,3)

Passo 1

Como o plano contém esses três pontos, podemos definir dois vetores que estão no plano fazendo:

P Q → = 0,2 , 0 - 1,0 , 0 = ( - 1,2 , 0 )

P R → = 0,0 , 3 - 1,0 , 0 = ( - 1,0 , 3 )

Certo?

Passo 2

Se temos dois vetores que estão no plano e queremos um vetor que seja perpendicular ao plano, significa que queremos um vetor que seja perpendicular simultaneamente a esses dois vetores que estão no plano.

ORA BOLOTAS, vamos fazer um produtinho escalar entre esses vetores então e a gente encontra um vetor não nulo perpendicular a eles dois!!

P Q → × P R →   = i j k - 1 2 0 - 1 0 3 = 2 0 0 3 i - - 1 0 - 1 3 j + - 1 2 - 1 0 k

P Q → × P R →   = i j k - 1 2 0 - 1 0 3 = 2.3 - 0.0 i - ( - 1.3 - 0 . ( - 1 ) ) j + - 1.0 - 2 . - 1 k

P Q → × P R →   = i j k - 1 2 0 - 1 0 3 = 6   i + 3   j + 2   k

P Q → × P R → = ( 6,3 , 2 )

E esse é o vetor ortogonal ao plano que queríamos! Ou qualquer vetor múltiplo desse também serve!

Passo 3

Agora para saber a área do triângulo P Q R , acompanha aqui meu raciocínio...

A gente sabe calcular a área de um paralelogramo formado por dois vetores usando o produto vetorial entre esses dois vetores.

Um paralelogramo é formado por dois triângulos encaixados um no outro, certo?

Então se a gente imaginar o triângulo P Q R como a METADE de um paralelogramo, podemos dizer que a área dele é igual a METADE da área do paralelogramo formado pelos vetores P Q → e P R → .

E essa área a gente sabe calcular.

Vamos fazer isso?

A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial entre os vetores que formam os lados do paralelogramo. Assim, a área do triângulo que estamos procurando é

A = 1 2 P Q → × P R → = ( 6,3 , 2 ) = 1 2 6 2 + 3 2 + 2 2 = 1 2 36 + 9 + 4

A = 1 2 49 = 7 2

Resposta

( 6,3 , 2 )

A = 7 2

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