Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 25
Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa pelos pontos e calcule a área do trângulo .
Passo 1
Como o plano contém esses três pontos, podemos definir dois vetores que estão no plano fazendo:
Certo?
Passo 2
Se temos dois vetores que estão no plano e queremos um vetor que seja perpendicular ao plano, significa que queremos um vetor que seja perpendicular simultaneamente a esses dois vetores que estão no plano.
ORA BOLOTAS, vamos fazer um produtinho escalar entre esses vetores então e a gente encontra um vetor não nulo perpendicular a eles dois!!
E esse é o vetor ortogonal ao plano que queríamos! Ou qualquer vetor múltiplo desse também serve!
Passo 3
Agora para saber a área do triângulo , acompanha aqui meu raciocínio...
A gente sabe calcular a área de um paralelogramo formado por dois vetores usando o produto vetorial entre esses dois vetores.
Um paralelogramo é formado por dois triângulos encaixados um no outro, certo?
Então se a gente imaginar o triângulo como a METADE de um paralelogramo, podemos dizer que a área dele é igual a METADE da área do paralelogramo formado pelos vetores e .
E essa área a gente sabe calcular.
Vamos fazer isso?
A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial entre os vetores que formam os lados do paralelogramo. Assim, a área do triângulo que estamos procurando é