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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 2.Exercícios Propostos - Ex. 15

O A →   =   ( 4,1 , - 3 ) , O B →   =   ( 2 , - 1,1 ) , A D → é paralelo a ( 2 , x , 0 ) e D está alinhado com O e B. Determine A D → .

Passo 1

Se D está alinhado com O e B, então

O D → = α O B → = α   ( 2 , - 1,1 )

Outra informação importante que temos é que A D → é paralelo a ( 2 , x , 0 ) , de modo que

A D → = β ( 2 , x , 0 ) = ( 2 β , β x , 0 )

Por outro lado, temos

A D → = A O → + O D → = - O A → + O D → = - ( 4,1 , - 3 ) + α   ( 2 , - 1,1 ) = ( 2 α - 4 , - α - 1 , α + 3 )

As duas última equações devem ser iguais, então,

( 2 α - 4 , - α - 1 , α + 3 ) = ( 2 β , β x , 0 )

Passo 2

A partir da última equação do passo anterior, obtemos o seguinte sistema de equações:

2 α - 4 = 2 β ⇒ β = α - 2

β x = - α - 1 ⇒ β x = - β - 2 - 1 = - β - 3

α + 3 = 0 ⇒ α = - 3

Agora, substituindo α = - 3 na expressão para β , obtemos

β = α - 2 = - 3 - 2 = - 5

Agora que sabemos os valores de β , podemos obter x :

β x = - β - 3 ⇒ - 5 x = - ( - 5 ) - 3 = 2 ⇒ x = - 2 5

Passo 3

Com os resultados obtidos, agora somos capazes de determinar A D → :

A D → = ( 2 β , β x , 0 ) = ( 2 ⋅ ( - 5 ) , - 5 ⋅ ( - 2 5 ) , 0 ) = ( - 10,2 , 0 )

Resposta

A D → = ( - 10,2 , 0 )

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