Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 6.Exercício - Ex. 8
Prove: é LI é LI.
Passo 1
Opa, tudo certin? Vamos pra uma questão de prova (é pra provar algo, não que ela veio de alguma prova haha)
Primeiro vamos provar que se são LI, então é LI
Para um conjunto ser LI temos que ter que
Só é verdade se e . Guarda isso aí que já já a gente vai usar ;)
Passo 2
Bem, agora vamos escrever uma combinação linear do segundo conjunto
Agora vamos impor que
Se esses dois vetores forem LI, então teremos que ter que . Então o nosso trabalho aqui é verificar esse coeficientes.
Trabalhando nessa expressãozinha, podemos reescrever da seguinte maneira
Ou seja, escrevemos uma combinação linear de como uma combinação linear de . Beleza, mas isso é útil pra que?
Lá no passo 1, partimos que os vetores e são LI, né? O que temos aqui é uma combinação linear de e e como esses vetores são LI então os coeficientes deles são necessariamente nulos! Isso significa que
Olha que legal! Chegamos num sistema de duas equações e duas incógnitas! Pra resolver, vou primeiro somar as duas equações
E da segunda equação
Show! Como chegamos que , isso significa que se é LI então é LI também! o/
Passo 3
Não vai embora nããããooo! Ainda falta um negócio pra provar!
Já provamos que se é LI então é LI também.
Agora temos que provar a volta: se é LI, então é LI também. Mas calma que a gente não vai ter esse trabalhão todo de novo!
Pra facilitar a nossa vida, vamos renomear esses vetores da seguinte forma
Somando essas duas equações
E subtraindo a segunda da primeira
Então outra forma de dizer o que queremos provar agora é: se são LI, então também é LI.
Mas reparou uma coisa? O que tá dito aqui é igualzinho ao que a gente provou lá nos passos 1 e 2, a menos do fator que não influencia no resultado!
Isso significa que a volta também é verdadeira e assim provamos o que o exercício pediu \o/
Resposta
Prova acima