Enunciado

Uma pequena fábrica produz copos comuns e copos de vinho. Uma máquina automatiza parte do processo de fabricação. Para produzir uma caixa de copos comuns requer-se 1 hora de uso da máquina mais 1 hora de trabalho de um operário. A produção de uma caixa de copos de vinho requer apenas meia hora de uso da máquina, mas ocupa 2 horas de trabalho operário. No período de uma semana, a fábrica dispõe de 80 horas de trabalho manual e 50 horas de uso da máquina. O lucro na venda de uma caixa de copos de vinho é de 50 reais e, numa caixa de copos comuns, o lucro é de 40 reais.

a) Qual deve ser a produção semanal de cada tipo de copo de modo a maximizar o lucro?

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Vamos definir as seguintes variáveis para o nosso problema:

X: número de caixas de copos comuns produzidas

Y: número de caixas de copos de vinho produzidas

Analisando o contexto do problema temos as seguintes desigualdades:

x + 0,5 y ≤ 50     t e m p o   u s o   d a   m á q u i n a

x + 2 y ≤ 80   ( t e m p o   d e   t r a b a l h o   m a n u a l )

Além disso, é óbvio que a produção de copos comuns e de vinho precisa ser maior ou igual a zero, logo: x ≥ 0 ; y ≥ 0

Representando cada uma dessas desigualdades no plano cartesiano, temos a seguinte região:

Passo 2

Desejamos agora encontrar nessa região os valores para X e Y que maximizem o nosso lucro, que é dado pela função:

L x , y = 40 x + 50 y

Um método prático de achar o ponto de máximo da função L consiste em calcular L(P) para todo vértice P da nossa região R e ver qual desses valores é o maior.

Observando melhor a região, conseguimos determinar os vértices A, B e C como potenciais candidatos à maximizar o lucro.

Calculando os Lucros, temos:

L A = 40 . 50 + 50 . 0 = 2000

L B = 40 . 4 0 + 50 . 2 0 = 2 6 00

L C = 40.0 + 50 . 4 0 = 2000

Logo, percebemos que a melhor solução é o ponto B, ou seja, para maximizar o lucro a fábrica precisa produzir 40 caixas de copo comum e 20 caixas de copo de vinho por semana.

Resposta

  1. 40 caixas de copo comum e 20 caixas de copo de vinho.

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