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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 7.Problemas propostos - Ex. 15

Achar a distância do ponto P ao plano pi nos casos:

P (1 , 1 , 1) pi : {[[x = 2 + 2 h + 3 t],[y = - 1 + h + t],[z = 2 - h]])

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos encontrar a equação geral de pi , pois vamos precisar dela pra encontrar a distância entre ele e o ponto P .

Para encontrar a equação geral de pi , precisamos de um vetor normal e um ponto que ele contém. Da sua equação, temos que ele passa pelo ponto A = ( 2 , - 1 , 2 ) e tem vetores diretores ( 2 , 1 , - 1 ) e ( 3 , 1 , 0 ) .

Um vetor normal de pi deve ser perpendicular a ele, então para encontrar esse vetor, podemos fazer o produto vetorial dos seus vetores diretores:

vec n = ( 2 , 1 , - 1 ) xx ( 3 , 1 , 0 )

Então

vec n = ( 1 , - 3 , - 1 )

Logo, o plano pi tem uma equação geral no formato

1 x - 3 y - 1 z + d = 0

Agora é só encontrarmos d :D

Passo 2

Para encontrarmos d em 1 x - 3 y - 1 z + d = 0 , vamos substituir um ponto pertencente ao plano pi , por exemplo, o ponto A = ( 2 , - 1 , 2 ) , que sabemos que pertence a ele pela equação dada no enunciado. Então:

1 x - 3 y - 1 z + d = 0

1.2 - 3 . (- 1) - 1.2 + d = 0

2 + 3 - 2 + d = 0

d = - 3

Logo, a equação geral de pi é

pi : 1 x - 3 y - 1 z - 3 = 0

Passo 3

Sabemos que a distância entre um ponto A = ( x , y , z ) e um plano pi ' : a x + b y + c z + d = 0 é dada por

d (A , pi ') = (|a x + b y + c z + d|)/(sqrt(a^2 + b^2 + c^2))

No nosso caso, temos o ponto P ( 1 , 1 , 1 ) e o plano pi : x - 3 y - z - 3 = 0 , logo, a distância entre eles vai ser

d (P , pi) = (|1.1 - 3 . 1 - 1.1 - 3|)/(sqrt(1^2 + (- 3)^2 + ( - 1 ) ²))

d (P , pi) = (6)/(sqrt(11))

Resposta

(6)/(sqrt(11))

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Calcule a distância do segmento P Q ao plano π : 2 x - 2 y + z - 6 = 0 , nos casos:b) P = 3 ,0 ,- 1 ,Q = ( - 1 ,- 2 ,3 )