Dadas as retas r 1 : y = - 2 x , z = x e r 2 : x = 2 - t , y = - 1 + t ,   z = 4 - 2 t , determinar:

  1. O ponto P’ simétrico de P(1,0,5) em relação a reta r 1

Passo 1

Vamos começar parametrizando a reta r 1

y = - 2 x z = x

As equações já estão em função de x , então, tomando λ = x , temos que a nossa parametrização fica:

( x , - 2 x , x )

λ ( 1 , - 2,1 )

Então nosso vetor v 1 → = ( 1 , - 2,1 )

Passo 2

E o que seria esse ponto P ' simétrico de P em relação a reta r 1 ? é exatamente isso aqui:

No qual, o ponto A pertence a reta R, a distância de P até A é a mesma distancia de A até P’ e também, podemos afirmar que P A → ⋅ v 1 → = 0 , onde v 1 → é o vetor direção da reta r .

Como o ponto A pertence a reta, chamaremos ele de ( x , - 2 x , x )

Passo 3

Então temos que P A → ⋅ v 1 → = 0 , ou seja,

x - 1 , - 2 x , x - 5 ⋅ 1 , - 2,1 = 0

x - 1 ∓ 4 x + x - 5 = 0

6 x = 6

x = 1

P A → = ( ( 1 ) - 1 , - 2 1 , ( 1 ) - 5 )

P A → = ( 0 , - 2 , - 4 )

E A = ( 1 , - 2,1 )

Passo 4

Como P A = A P ' , temos que:

0 , - 2 , - 4 = P ' - ( 1 , - 2,1 )

P ' = ( 1 , - 4 , - 3 )

Resposta

P ' = ( 1 , - 4 , - 3 )

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