Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.9 - Ex. 26

Pode ser provado que se A for uma matriz 2 × 2 de vetores colunas ortonormais e com det ⁡ A = 1 , então a multiplicação por A é uma rotação por algum ângulo θ . Verifique que:

A =   - 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2

Satisfaz as condições enunciadas, e encontre o ângulo de rotação.

Passo 1

Vamos lá, primeiro devemos analisar se os vetores colunas são ortonormais.

| c → 1 | = - 1 2 2   + 1 2 2 = 1

| c → 2 | = - 1 2 2   + - 1 2 2 = 1

Também:

c → 1   ⋅   c → 2 = - 1 2 ⋅   - 1 2 +   1 2 ⋅ - 1 2 = 0

Logo:

c → 1   ⊥   c → 2

Por fim: A =   - 1 2 ⋅   - 1 2 -   1 2 ⋅ - 1 2 = 1

Como podemos ver eles atendem as condições.

Passo 2

Agora vamos iremos multiplicar A por ( x , y )

F x = - 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2 * x y =   - x - y 2 + x - y 2

Passo 3

Analisando F ( x ) observamos que x = 0 e   F x = ( - y 2 ,   - y 2 )

Logo a rotação imposta por A será de:

- 3 π 4

Resposta

- 3 π 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada parte, encontre a matriz canônica do operador T:R 3→R 3 que transforma cada ponto ( x ,y , z ) reflexão no plano x z .
Em cada parte, encontre a matriz canônica do operador T:R 3→R 3 que efetue a rotação de cada vetor por 90 ° no sentido anti-horário em torno do eixo z (olhando ao longo do eixo z positivo para a orige
Em cada parte, encontre a matriz 2 x 2 que efetua umcisalhamento(a) de fator k=4 na direção y .(b) de fator k= - 2 na direção x .
Em cada parte, encontre a matriz canônica do operador T:R 3→R 3 que transforma cada ponto ( x ,y , z ) reflexão no plano x y .
Em cada parte, encontre a matriz canônica do operador T:R 2→R 2 que transforma cada ponto ( x ,y ) na projeção ortogonal sobre o eixo y .