O ponto X ' chama-se simétrico do ponto X em relação ao ponto A quando A é o ponto médio do segmento XX’. Qual é o simétrico do ponto X = ( x , y ) em relação ao ponto A = ( a , b ) ? Em particular, qual é o simétrico de X em relação à origem?

Caso A ponto médio: X ' = ( 2 a - x ,2 b - y ) Caso origem: X ' = ( - x , - y )

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 10

O ponto chama-se simétrico do ponto X em relação ao ponto A quando A é o ponto médio do segmento XX’. Qual é o simétrico do ponto em relação ao ponto ? Em particular, qual é o simétrico de X em relação à origem?

Passo 1

Falaaa, blzz??? Para iniciar vamos lembrar o conceito de ponto médio de um segmento.

Vamos supor que tenha um segmento que liga o ponto A (a,b) até o ponto B(c,d), o ponto médio do segmento AB é dado por:

Passo 2

Ou seja, usando isso vamos determinar o ponto tendo que é o ponto médio do segmento

Pela equação já escrita e tomando :

Logo:

Daqui tiramos que

Passo 3

Agora vamos achar o simétrico de X em relação à origem.

Veja que fizemos a fórmula de um ponto simétrico a X para um ponto qualquer A, então basta forçar que A seja a origem, ou seja, , substituindo na equação do ponto

Resposta

Caso A ponto médio:

Caso origem:

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