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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 6

O ponto P = (x1, y1) pertence à circunferência Γ de centro (a, b) e raio r. Qual é a equação da tangente a Γ no ponto P?

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Você deve estar se perguntando: como resolver esta questão que não temos nenhum dado para se substituir na equação da reta tangente?

Calma, não entre em pânico! Ela é uma questão de simples resolução, ela apenas que avaliar nossa dedução. Vamos precisar apenas adaptar a equação da reta tangente para os dados informados.

Vamos partir da seguinte ideia, a equação de uma reta tangente é dada por:

y - y p = m ( x - x p )

Além disso, sabemos que o coeficiente angular da reta tangente à uma circunferência é dado por:

m = - x p - x c y p - y c

Onde, x p , y p   e   ( x c , y c )   são as coordenadas do ponto da circunferência e do centro respectivamente.

No enunciado temos essas coordenadas, elas apenas estão escritas como outras variáveis.

x p , y p = x 1 , y 1     e   x c , y c =   a , b

Com essas informações podemos reescrever a equação da reta, como:

y - y 1 = - x 1 - a y 1 - b ( x - x 1 )

Já temos a equação da nossa reta, vamos apenas reescrever de forma mais simples.

( y - y 1 ) ( y 1 - b ) = - ( x 1 - a ) ( x - x 1 )

( y 1 - b ) y + ( y 1 b - y 1 2 ) = ( a - x 1 ) x +   ( x 1 2 - a x 1 )

x 1 - a x + ( y 1 - b ) y + ( y 1 b - y 1 2 - x 1 2 + x 1 a ) = 0

Assim, temos uma equação da reta no formato A x + B y + C = 0 , onde:

A = x 1 - a ; B = y 1 - b ; C =   y 1 b - y 1 2 - x 1 2 + x 1 a

A equação da reta é:

x 1 - a x + ( y 1 - b ) y + ( y 1 b - y 1 2 - x 1 2 + x 1 a ) = 0

Resposta

x 1 - a x + ( y 1 - b ) y + ( y 1 b - y 1 2 - x 1 2 + x 1 a ) = 0

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Verifique para quais pontos X da reta r a área do triângulo A B X é a menor possível e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.c) A = 2 ,0 ,0B = 3 ,1 ,0r : X = 3 ,1 ,8 + λ ( 1 ,1 ,2 )
Obtenha os pontos da reta r que equidistam das retas s e t :b) r : x = y = zs : X = 1 ,0 ,0 + λ 1 ,1 ,0 t : X = 0 ,0 ,1 + λ ( 1 ,0 ,- 1 )