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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 7

Sabendo que a²+b²=1, decida se a equação x² + y² − 2(am + bn)x − 2(an −bm)y + m² + n² = r² representa uma circunferência, um ponto ou o conjunto vazio.

Passo 1

Você deve estar pensando: “Que equação cabulosa é essa? Sei nem por onde começar!”

Acertei!? Não se preocupe, apesar de assustadora ela é não impossível. Vem comigo que a gente consegue, vamos lá??

Nosso objetivo é transformar a equação dada em algo parecido com: x - a 2 + ( y - b ) ² = r 2 . Esta equação acima é a equação reduzida da circunferência e a que nos foi dada no enunciado é a equação geral.

Para começar vamos reorganizar os termos da nossa equação juntando os termos de x e y em pares. Obtendo assim:

x 2 - 2 a m + b n x + y 2 - 2 a n + b m y = r 2 - ( m 2 + n 2 )

Agora vamos manipular matematicamente os termos da nossa equação e tentar completar um produto notável do tipo a + b 2 = a 2 + 2 a b + b ² para cada variável.

Começando com a variável x, queremos completar o trinômio x 2 - 2 a m + b n x . Comparando com a equação acima, temos:

a =   1 ;     2 b =   - 2 a m + b n → b =   - a m + b n

Logo, o quadrado perfeito é:

x - a m + b n 2 =   x 2 - 2 a m + b n x + a m + b n ²

Portanto, o termo que faltava para completar o quadrado é a m + b n ² .

Iremos somar ele em ambos os lados da equação inicial.

De modo análogo, para a variável y, teremos o trinômio y 2 - 2 a n + b m y .

Onde:

a =   1 ; 2 b = - 2 a n + b m → b = - a n + b m  

Logo, o quadrado perfeito é:

y - a n + b m 2 =   y 2 - 2 a n + b m + a n + b m ²

Portanto, o termo que faltava para completar o quadrado é a n + b m ² .

Iremos somar ele em ambos os lados da equação inicial.

Voltando à nossa equação inicial, teremos:

x 2 - 2 a m + b n x + y 2 - 2 a n + b m y = r 2 - ( m 2 + n 2 )

Vamos agora somar os dois valores encontrados para completar os quadrados em ambos os lados da equação.

No 1º membro, temos:

x 2 - 2 a m + b n x + a m + b n 2 + y 2 - 2 a n + b m y + a n + b m 2

Isso equivale aos nossos produtos notáveis, ou seja:

x - a m + b n 2 + y - a n + b m 2

Já no 2º membro, teremos:

r 2 - m 2 + n 2 + a m + b n 2 + a n + b m 2

Vamos focar nessa expressão do 2º membro, será ela que vai definir se a equação é de uma circunferência, ponto ou conjunto vazio. Se > 0 é uma circunferência; se = 0 é um ponto e se

Desenvolvendo a expressão, temos:

r 2 - ( m 2 + n 2 ) + a 2 m 2 + 2 a b m n + b 2 n 2 + a 2 n 2 + 2 a b m n + b ² m ²

r 2 - ( m 2 + n 2 ) + 4 a b m n + a 2 ( m 2 + n ² ) + b 2 ( m 2 + n ² )

r 2 - ( m 2 + n 2 ) + 4 a b m n + ( a 2 + b 2 ) ( m 2 + n ² )

Do enunciado, temos que a 2 + b 2 = 1 , logo:

r 2 - ( m 2 + n 2 ) + 4 a b m n + ( m 2 + n ² )

r 2 + 4 a b m n

Agora que simplificamos ao máximo, vamos julgar o valor dessa expressão obtida.

Temos certeza que r² é positivo, porém nada podemos afirmar sobre 4abmn.

Portanto, nossa resposta ficará em função dessa expressão, o que podemos definir é que:

Se r 2 + 4 a b m n > 0 a equação representa uma circunferência;

Se r 2 + 4 a b m n = 0 a equação representa um ponto;

Se r 2 + 4 a b m n < 0 a equação representa um conjunto vazio.

Resposta

Se r 2 + 4 a b m n > 0 a equação representa uma circunferência;

Se r 2 + 4 a b m n = 0 a equação representa um ponto;

Se r 2 + 4 a b m n < 0 a equação representa um conjunto vazio.

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