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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 8

Dados A = (0, 2, 1), r: X = (0, 2, -2) + t(1, -1, 2), ache os pontos de r que distam 3 de A. A distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual à 3 ? Por que?

Passo 1

A partir da equação da reta, podemos inferir que um ponto qualquer presente nela pode ser expresso por:

P r = ( t ,   2 - t ,   - 2 + 2 t )

O vetor que liga A a um ponto qualquer da reta r é tal que:

A P r → = t - 0 ,   2 - t - 2 ,   - 2 + 2 t - 1

A P r → = t ,   - t ,   - 3 + 2 t

Passo 2

A distância entre o ponto A e um ponto qualquer da reta r pode ser tomada pela norma do vetor que liga esses dois pontos, ou seja:

A P r → = t 2 + - t 2 + - 3 + 2 t 2

A P r → = t 2 + t 2 + ( 9 - 12 t + 4 t 2 )

A P r → = 6 t 2 - 12 t + 9

Passo 3

Igualando a distância encontrada a 3 :

6 t 2 - 12 t + 9 = 3

Elevando os dois lados ao quadrado:

6 t 2 - 12 t + 6 = 0

t 2 - 2 t + 1 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau:

t = 1

Substituindo o valor de t encontrado em P r :

P = ( 1 ,   2 - 1 ,   - 2 + 2 )

P = ( 1 ,   1 ,   0 )

Resposta

P = ( 1 ,   1 ,   0 ) . A distância entre r e A é igual a 3 .

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