Sejam a   → , b   → e c   → três vetores quaisquer, u   → =   a →   +   b → , v   → = -   b →   -   c → e w   → =   a →   -   c → . Prove que u   → , v   → e w   → são l.d..

Passo 1

Muito bem, nessa questão vamos desenvolver um raciocínio um pouco diferente das anteriores. Já vamos começar supondo que um dos vetores é combinação linear dos outros dois:

u → = x   v   → + y w   →

Basicamente, temos que mostrar que existem x   , y que satisfazem a equação acima. Assim, substituindo os valores dados na questão, temos que

u → = x   v   → + y w   → ⇒   a →   +   b → = x ( -   b →   -   c → ) + y   ( a →   -   c → ) = - x b →   - ( x + y ) c → +   y a →

Como não temos c → do lado esquerdo da equação, então x + y = 0 ⇒ x = - y . Então,

  a →   +   b → = y ( b → + a → ) ⇒ y = 1 ,   x = - 1 .

Com isso, fica provado que os vetores são l.d. uma vez que

u → = -   v   → + w   → .

Resposta

Veja a resolução acima.

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