Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 3
O problema apresenta um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definida. Verificar se é um espaço vetorial, e se não for, cite os axiomas que não se verificam.
Passo 1
Pra gente nunca se perder, começa listando os axiomas do espaço vetorial.
Passo 2
Beleza, agora a gente tem que ver se o nosso conjunto atende a todos eles. A segunda propriedade que ele deu, , parece bem certinha, né? É só uma multiplicação por escalar, então provavelmente os quatro axiomas de multiplicação funcionam. O que chama a atenção é essa primeira propriedade...
Ela é bem esquisita! Então vamos direto procurar um furo nos axiomas da soma!
Passo 3
Bora testar os quatro primeiros axiomas pra ver se tem algum problema neles. Vamos pegar três elementos:
Fazendo primeiro o lado esquerdo:
E agora o lado direito:
Show, os dois deram iguaizinhos, então a primeira vale!
Pro lado esquerdo:
E pro lado direito:
Aí ó, deu diferente! Já achamos um furo nos axiomas. Já podemos concluir que o conjunto não é um espaço vetorial. Vamos ver as outras de soma.
Passo 4
Vamos ver o terceiro e o quarto axiomas da soma agora.
Esse funcionou legal!
Opa, não deu zero, então esse também não serve! Só reforçamos o que a gente já sabia: esse conjunto não é espaço vetorial.
Resposta
Não é espaço vetorial. Fura o axioma e .