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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 13

No problema, é apresentado um subconjunto de R 2 . Verificar se é um subespaço vetorial do R 2 , relativamente às operações de adição e multiplicação por escalar usuais.

S = { x , y ; x ≥ 0 }

Passo 1

Lembra sempre que são duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Assim, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Passo 2

Bora, galera, vamos pegar dois vetores quaisquer de S . Pode ser u = ( a , b ) e v = ( c , d ) , com a restrição que a , b ≥ 0 . Dá uma olhada na soma deles:

u + v = a , b + c , d

u + v = a + c ,   b + d

A nossa única restrição pra soma estar no subconjunto é que a + c também seja maior ou igual a zero. Mas isso é muito verdade, já que se a ≥ 0 e c ≥ 0 , a + c ≥ 0 , ou você já viu dois números maiores que zero somando e dando menor que zero? Nem em sonho! Beleza, então a soma está em S . Agora vamos ver o produto por escalar.

Passo 3

Pega um escalar qualquer α e multiplica pelo vetor w = x , y ,   x ≥ 0 , de S .

α w = α x , y

α w = α x ,   α y

E aí, a gente pode garantir que esse produto está em S ? Claro que não, porque se a gente pegar qualquer α negativo, α x ≤ 0 , e aí já ferrou com tudo. Então não necessariamente o produto por escalar vai pertencer ao subconjunto. Como só a primeira propriedade é verdadeira sempre, o nosso subconjunto não é subespaço vetorial!

Passo 4

Um contraexemplo pra essa é o vetor w = ( 1 ,   1 ) , porque quando α = - 1 , α w = ( - 1 ,   - 1 ) , que não está no subconjunto!

Resposta

Não é subespaço vetorial.

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Verificar se o subconjunto abaixo é subespaço de M ( 2 ,2 ) . S = a a + b a - b b ,a , b ∈ R
Seja o espaço vetorial M ( 2,2 ) e os vetores v 1 = 1 0 1 1 ,v 2 = - 1 20 1 ,v 3 = 0 - 1 2 1 Escrever o vetor v = 1 8 0 5 Como combinação linear dos vetores v 1 , v 2 e v 3 .
Seja S o subespaço de M ( 2,2 ) : S = a - b 2 a a + b - b ,a ,b ∈ R Pergunta-se: 5 6 1 2 ∈ S ?Qual deve ser o valor de k para que o vetor - 4 k 2 - 3 pertença a S ?
Escrever o vetor 0 ∈ R 2 como combinação linear dos vetores: v 1 = ( 1 ,3 ) e v 2 = 2,6 v 1 = ( 1 ,3 ) e v 2 = ( 2 ,5 )
Sejam os vetores u = ( 2 ,- 3 ,2 ) e v = ( - 1 ,2 ,4 ) em R 3 .Escrever o vetor w = ( 7 ,- 11 ,2 ) como combinação linear de u e v .Para que valor de k o vetor ( - 8 ,14 ,k ) é combinação linear de u