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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 14

No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.

S = { x , y , z ; x = 4 y   e   z = 0 }

Passo 1

Vamos começar lembrando as duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Ou seja, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Pela expressão do enunciado, um vetor qualquer de S vai ter essa cara aqui:

s = ( 4 y ,   y ,   0 )

Vamos pegar dois vetores quaisquer e testar as propriedades!

u = 4 x ,   x ,   0

v = 4 y ,   y ,   0

Passo 2

Primeiro vamos ver a soma:

u + v = 4 x ,   x ,   0 + 4 y ,   y ,   0

u + v = 4 x + 4 y ,   x + y ,   0

u + v = 4 x + y ,   x + y ,   0

Ele atende direitinho à definição do subconjunto!

Passo 3

Beleza, agora vamos ver o produto por escalar.

α u = α 4 x ,   x ,   0

α u = 4 α x ,   α x ,   0

Opa, ele também bate certinho! Show, se as duas propriedades foram atendidas, o subconjunto é um subespaço!

Resposta

É subespaço.

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