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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 23

No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.

S = { x , y , z ; x ≥ 0 }

Passo 1

Pra um subconjunto ser subespaço, tem que valer:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Assim, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Nesse subconjunto, temos só que ter x ≥ 0 .

Passo 2

Quando aparecem essas restrições de sinal numa componente, a melhor coisa é a gente ir buscar problema primeiro na multiplicação por escalar. E olha só, vamos achar rapidinho o problema! Se multiplicarmos o vetor por um escalar negativo, a primeira componente vai se tornar menor ou igual a zero, que já não está no subconjunto!

Passo 3

Olha aí um contraexemplo:

s = 1 ,   1 ,   1

- 1 s = - 1 ,   - 1 ,   - 1

Então, esse subconjunto não é subespaço!

Resposta

Não é subespaço.

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2 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.O conjunto de todas as matrizes A de tamanho n x n tais que AB=BA com alguma matriz B fixada.
3 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços de P3.Todos os polinômios a0+a1x+a2x2+a3x3 com a0=0.
4 Quais dos seguintes são subespaços de F()?Todas as funções f em F tais que f(0)=1.
1 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.O conjunto de todas as matrizes (a, 0, 0) diagonais.
2 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.O conjunto de todas as matrizes A de tamanho n x n tais que AT=-A.