Enunciado

1 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.

  1. O conjunto de todas as matrizes (a, 0, 0) diagonais.

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

Vamos verificar a primeira condição, tomando duas matrizes quaisquer desse conjunto:

Essa primeira matriz só tem um termo na posição i = j = 1 , o resto da matriz é toda preenchida com zeros

u = 1 0 … 0 0 0 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 0

E a segunda matriz tem 1 em todas as posições da diagonal principal com exceção da posição i = j = 1

v = 0 0 … 0 0 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 1

Para descobrir o determinante dessas matrizes só precisamos multiplicar os valores da diagonal principal. Como nas duas existem zeros na diagonal, o determinante é igual a zero.

Porém quando somamos eles:

u + v = 1 0 … 0 0 0 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 0 + 0 0 … 0 0 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 1

u + v = 1 0 … 0 0 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 1

Obtemos uma matriz com todos os valores da diagonal principal igual a um. Multiplicando eles temos um determinante igual a 1. Dessa forma acabamos de ver que a primeira condição não é satisfeita, ou seja, essas matrizes não formam um subespaço.

Resposta

Não é um subespaço vetorial de M n n .

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b. ( x , y , z , w ) , tais que z = x = 2 y e w = x - 3 y ;