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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 15

No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.

S = { x , y , z ; z = 2 x - y }

Passo 1

Vamos começar lembrando as duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Assim, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Um vetor desse subconjunto vai ser assim:

s = ( x ,   y ,   2 x - y )

Então vamos pegar dois vetores genéricos pra testar as propriedades!

u = a ,   b ,   2 a - b

v = ( c ,   d ,   2 c - d )

Passo 2

Vamos dar uma olhada na soma dos vetores:

u + v = a , b , 2 a - b + c , d , 2 c - d

u + v = a + c ,   b + d ,   2 a - b + 2 c - d

u + v = a + c ,   b + d ,   2 a + c - b + d

Pô, olha só que beleza, bateu direitinho! A terceira componente é duas vezes a primeira, menos a segunda. Show então, vamos ver a segunda propriedade.

Passo 3

Pra multiplicação, vamos pegar um escalar qualquer α :

α s = α x ,   y ,   2 x - y

α s = ( α x ,   α y ,   2 α x - α y )

Bom, essa valeu também, né? Então fechou, se as duas batem, esse subconjunto é um subespaço!

Resposta

É um subespaço.

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