Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 2g
2 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.
- O conjunto de todas as matrizes A de tamanho n x n tais que AB=BA com alguma matriz B fixada.
Passo 1
Precisamos verificar as duas condições do Teorema.
O teorema diz que:
Se for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial , então é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.
(a) Se e forem vetores em , então está em .
(b) Se for um escalar qualquer e algum vetor de , então está em .
Passo 2
A matriz nunca muda, ou seja, precisamos encontrar o conjunto das matrizes , que satisfaçam as condições.
Vamos tomar duas matrizes quaisquer desse conjunto:
e
Precisamos verificar se a soma atende a condição desse conjunto, sabemos pelas propriedades de multiplicação de matrizes que a multiplicação é distributiva, logo podemos fazer isso:
Sabemos quanto vale essas matrizes:
Novamente, pela propriedade distributiva, podemos reescrever assim:
Ou seja, a primeira condição é válida.
Passo 3
Agora vamos verificar a segunda condição, tomando uma matriz qualquer:
E um escalar qualquer:
Multiplicando os dois teremos: .
Vamos ver se eles atendem a condição desse conjunto, usando as propriedades das matrizes podemos calcular que:
Sabemos o valor dessa multiplicação:
Que continua sendo uma matriz que pertence ao conjunto que queriamos, ou seja, a segunda condição também é válida.
Dessa maneira concluímos que esse conjunto de matrizes formam um subespaço vetorial de .
Resposta
É um subespaço vetorial de .