2 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.

  1. O conjunto de todas as matrizes A de tamanho n x n tais que AB=BA com alguma matriz B fixada.

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

A matriz B nunca muda, ou seja, precisamos encontrar o conjunto das matrizes A , que satisfaçam as condições.

Vamos tomar duas matrizes quaisquer desse conjunto:

X ,     X B = B X

e

Y ,     Y B = B Y

Precisamos verificar se a soma atende a condição desse conjunto, sabemos pelas propriedades de multiplicação de matrizes que a multiplicação é distributiva, logo podemos fazer isso:

X + Y B = X B + Y B

Sabemos quanto vale essas matrizes:

X + Y B = B X + B Y

Novamente, pela propriedade distributiva, podemos reescrever assim:

X + Y B = B X + Y

Ou seja, a primeira condição é válida.

Passo 3

Agora vamos verificar a segunda condição, tomando uma matriz qualquer:

X ,     X B = B X

E um escalar qualquer: k

Multiplicando os dois teremos: k X .

Vamos ver se eles atendem a condição desse conjunto, usando as propriedades das matrizes podemos calcular que:

k X B = k X B

Sabemos o valor dessa multiplicação:

k X B = k B X

k X B = B k X

Que continua sendo uma matriz que pertence ao conjunto que queriamos, ou seja, a segunda condição também é válida.

Dessa maneira concluímos que esse conjunto de matrizes formam um subespaço vetorial de M n n .

Resposta

É um subespaço vetorial de M n n .

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