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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 24

No problema, é apresentado um subconjunto de R 3 . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.

S = { x , y , z ; x + y + z = 0 }

Passo 1

Pra um subconjunto ser subespaço, ele precisa atender a duas propriedades:

I : Para quaisquer u ,   v ∈ S , u + v ∈ S ;

I I : Para quaisquer α ∈ R e u ∈ S , α u ∈ S .

Logo, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.

Nesse subconjunto, vale o seguinte:

x + y + z = 0

Logo,

z = - ( x + y )

Beleza, então vamos pegar dois vetores desse subconjunto pra testar:

u = a ,   b ,   - a - b

v = ( c ,   d ,   - c - d )

Passo 2

Olha aí a soma dos vetores:

u + v = a ,   b ,   - a - b + c ,   d ,   - c - d

u + v = a + c ,   b + d ,   - a - b - c - d

u + v = a + c ,   b + d ,   - a + b + c + d

Esse vetor soma serve certinho na nossa condição, já que a terceira componente é a soma das duas primeiras, trocando o sinal. Bora pra próxima!

Passo 3

Pra multiplicar, vamos pegar um escalar qualquer α :

α s = α x ,   y ,   - x - y

α s = ( α x ,   α y ,   - α x - α y )

Essa aí também tá no nosso subconjunto, né? Se valeram as duas propriedades, o subconjunto é um subespaço!

Resposta

É um subespaço.

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