Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 20
No problema, é apresentado um subconjunto de . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.
Passo 1
O importante é lembrar as duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço:
: Para quaisquer , ;
: Para quaisquer e , .
Daí, se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.
Um vetor desse subconjunto vai ser:
A gente tem a condição de que pelo menos um deles, ou , é igual a , já que o produto deles é nulo.
Passo 2
Essa condição é meio esquisita de escrever, então a melhor coisa que a gente pode fazer é começar pegando exemplo. Ó, bora lá, pega dois vetores que servem lá, o mais simples possíveis.
Viu, o produto das duas primeiras componentes é zero nos dois, então eles servem. Agora olha a soma deles!
Ih, rapaz, a primeira componente vezes a segunda não tá dando zero! Então pô, não necessariamente a soma tá no subconjunto, e daí não podemos garantir que é subespaço!
Resposta
Não é subespaço.