Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 21
No problema, é apresentado um subconjunto de . Verificar se é subespaço em relação às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. Se for subespaço, mostrar que as duas condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo.
Passo 1
Repetindo sempre isso! As duas propriedades que a gente precisa pra um subconjunto ser subespaço são:
: Para quaisquer , ;
: Para quaisquer e , .
E aí que se dois vetores pertencem ao subespaço, a soma deles também pertence ao subespaço, e se um vetor pertence ao subespaço, a multiplicação dele por um escalar também pertence.
Um vetor qualquer desse subconjunto vai ser assim:
Então vamos pegar dois vetores genéricos pra testar as propriedades!
Passo 2
Vamos dar uma olhada na soma dos vetores:
Hum... será que isso aí dá certo sempre? Bom, pra dois números positivos essa parada até dá certo, mas se botar um deles negativo já dá ruim, olha só!
Passo 3
Se e ,
Pô, já deu errado de cara! Como essa propriedade não é verdadeira sempre, não podemos dizer que é um subespaço.
Resposta
Não é um subespaço.