Enunciado

Nos problemas de 34 a 39, obter equações paramétricas da elipse de equação dada

4 x 2 + 9 y 2 - 54 y + 45 = 0

Passo 1

A equação da nossa elipse é

4 x 2 + 9 y 2 - 54 y + 45 = 0

Vamos completar quadrados para encontrarmos sua equação reduzida ok?

Primeiro vamos dividir tudo por 9:

4 x 2 9 + y 2 - 6 y + 5 = 0

E aí podemos completar quadrados assim:

4 x 2 9 + y 2 - 6 y + 5 + 4 - 4 = 0

4 x 2 9 + y 2 - 6 y + 9 - 4 = 0

E aí, como encontramos agora um trinômio quadrado perfeito, podemos escrever assim:

4 x 2 9 + ( y - 3 ) ² - 4 = 0

4 x 2 9 + ( y - 3 ) ² = 4

Vamos transformar o lado direito em 1, dividindo tudo por 4, sua equação reduzida é

x 2 9 + y - 3 2 4 = 1

Temos então uma elipse com centro em C = ( 0 ,   3 )

Como 9 > 4 , lembrando que o parâmetro a > b , temos o eixo maior sobre o eixo x e:

a 2 = 9 → a = 3

b 2 = 4 → b = 2

Passo 2

As equações paramétricas da elipse com centro ( h ,   k ) e eixo maior sobre o eixo x são dadas por

x = h + a . c o s θ y = k + b . sen ⁡ θ

Substituindo a e b que encontramos, e h ,   k = ( 0 ,   3 )

x = 3 . c o s θ y = 3 + 2 . sen ⁡ θ

Resposta

x = 3 . c o s θ y = 3 + 2 . sen ⁡ θ

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Dada f x = 3 x 2 - x + 5 , ache f - x 2 .
Ache uma equação da reta que passa pelo ponto - 1 ,6 e tem inclinação 3 .
Determine os valores de k e h se 3 x + k ⋅ y + 2 = 0 e 5 x - y + h = 0 forem equações da mesma reta.
Dada g x = x - 1 , ache g x + h - g x h ,h ≠ 0 .
Determine todos os valores de k para os quais os gráficos x 2 + y 2 = k e x + y = k interceptam-se.