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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 26

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

Focos F ± 3,0 e equações das assíntotas y = ± x

Passo 1

Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:

  • Dois focos, F 1 e F 2 , que possui uma distância focal de 2 c entre eles
  • Um centro C h , k que é o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2
  • Dois vértices, A 1 e A 2
  • O eixo real que é o segmento A 1 A 2 com comprimento 2 a
  • O eixo imaginário que é o segmento B 1 B 2 com comprimento 2 b

Aqui vemos que como os focos estão no eixo O x o real também está sobre O x , assim a equação vai ser da forma:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

Vamos então encontrar os valores a , b , k e h .

Passo 2

Pelas informações do enunciado temos que como os focos são F ± 3,0 temos então c = 3 , o centro é C 0,0 e as equações das assíntotas são da forma:

y = m x

Como a equação da hipérbole é da forma x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1 temos que m 1 = b a e m 2 = - b a , assim temos:

y = ± x

m 1 = b a → 1 = b a → a = b

Passo 3

Precisamos encontrar a e b , e podemos usar a seguinte expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Vamos então substituir os valores:

c 2 = a 2 + b 2 → 3 2 = a 2 + a 2 → 9 = 2 a 2 → a 2 = 9 2 → a = 9 2

Assim temos que b é:

b = 9 2

Pronto, vamos agora substituir os valores na equação da hipérbole, o centro C 0,0 , a = 9 2 e b = 9 2 :

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1 → x - 0 2 9 2 2 - y - 0 2 9 2 2 = 1 → x 2 9 2 - y 2 9 2 = 1 → 2 x 2 9 - 2 y 2 9 = 1 →

→ 2 x 2 - 2 y 2 = 9 → 2 x 2 - 2 y 2 - 9 = 0

Passo 4

Vamos também encontrar os vértices para montar o gráfico, como a distância do centro aos vértices é de 9 2 , temos então que as coordenadas x deles são:

0 + 9 2 = 9 2

0 - 9 2 = - 9 2

E a y é constante e igual a 0 , assim os vértices são A 1 9 2 , 0 e A 2 - 9 2 , 0 .

Passo 5

Vamos agora esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, 2 x 2 - 2 y 2 - 9 = 0 :

Resposta

2 x 2 - 2 y 2 - 9 = 0

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Ache a equação da hipérbole satisfazendo as condições dadas e faça um esboço do gráfico.Extremidade do eixo conjugado em ( 0 ,- 3 ) e 0 ,3 e um foco em 5 ,0 .
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Os vértices de uma hipérbole estão em - 3 ,- 1 e - 1 ,- 1 , e a distância entre os focos é 2 5 . Ache (a) a equação da hipérbole e (b) a equação das assíntotas.