Determine todos os valores de k para os quais os gráficos x 2 + y 2 = k e x + y = k interceptam-se.

Passo 1

Para isso, precisamos resolver o sistema em x e y formado por essas duas equações e analisar para quais valores de k a solução existe.

Passo 2

Substituindo a primeira na segunda, temos

x 2 + k - x 2 = k

x 2 + k 2 - 2 k ⋅ x + x 2 = k

2 x 2 - 2 k ⋅ x + k 2 - k = 0

x = k ± k 2 - 2 k 2 - k 2

Passo 3

Para existir uma solução para esse sistema, é necessário que

k 2 - 2 k 2 - k ≥ 0

- k 2 + 2 k ≥ 0

( a = 0 e b = 2 )

A inequação pede que o gráfico esteja acima ou sobre o eixo (maior ou igual a zero), então

0 ≤ k ≤ 2

Resposta

k ∈ 0 ; 2

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