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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 30

O produto vetorial é associativo? Justifique sua resposta. (Sugestão: experimente com os vetores i → , j → , k → )

Passo 1

Oiiee, tudo certinho?

De cara já afirmo que não! Mas por quê? Vamos seguir a sugestão do enunciado e testar!

Passo 2

Os vetores que ele indica são os vetores canônicos, da forma:

i → = 1,0 , 0 ,     j → = 0,1 , 0   e   k → = ( 0,0 , 1 )  

Uma operação ser associativa, indica que a ordem com qual se realiza operações sucessivas não importa! Ou seja, se fizermos o produto:

i → × j → × k →

Se o produto vetorial for associativo, fazer primeiro i → × j → e depois usar o resultado no produto com k → , ou, fazer primeiro j → × k → e depois usar o resultado no produto com i → , resultaria na mesma coisa. Vamos ver se isso é verdade!

Passo 3

No caso específico dos vetores canônicos, é (Testa para ver), mas, o mesmo não é verdade para um vetor qualquer, vamos testar o seguinte produto:

V 1 × j → × k →

Em que V 1 = ( 1 , 1 , 1 ) . Realizando primeiro:

V 1 × j → = i ^ j ^ k ^ 1 1 1 0 1 0 = k ^ - i ^

Portanto, temos que:

V 1 × j →   × k → = i ^ j ^ k ^ - 1 0 1 0 0 1 = j ^  

Vamos ver o caminho contrário!

Passo 4

Vamos fazer agora primeiro o produto

j → × k → = i →

De forma que:

V 1 × j →   × k → = i ^ j ^ k ^ 1 1 1 1 0 0 = j ^ - k ^

O que é diferente, e, portanto, a propriedade associativa não é válida para o produto vetorial! A questão foi isso, te vejo na próxima!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Sendo u → = ( 1 , - 2,4 ) e v → = ( 6,1 , - 1 ) , determine x → = ( a , b , c ) tal que x → seja ortogonal ao vetor ( - 1,2 , 1 ) e obedeça à equação u → ^ x → = v → .