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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 4.Exercícios Propostos - Ex. 15

Sabemos que u → = a → + b → , v → = a → - b → , a → = 2 , b → = 3 , o ângulo entre a → e b → mede 60 ° , a → = O A → e b → = O B → . Que relação existe entre u → ^ v →   e a área do triângulo O A B ? Demonstre sua afirmação. Calcule a distância de O até a reta A B .

Passo 1

Fala aeee, pessoal! Tudo bem?

A área do triângulo O A B é determinada por:

S Δ O A B = 1 2 O A →   ^   O B → = 1 2 . a → . b → s e n 60 ° = 3 2 3

Passo 2

O produto vetorial u → ^ v → é definido por:

u → ^ v →   = a → + b →   ^ a → - b →   = b → ^ a → + b → ^ a →

u → ^ v →   = 2 b → ^ a →

u → ^ v →   = 2 a → . b → s e n 60 ° = 6 3

Portanto:

u → ^ v →   = 4 S Δ O A B

Passo 3

A distância de O à reta A B é dada por:

S Δ O A B = 1 2 A B → 2 d

Sendo d a distância.

Portanto:

A B → 2 = A B → . A B → = a → 2 - 2 a → . b → + b → 2 = 2 2 - 2.2 . 3 . 1 2   + 3 2 = 7

Assim:

d = 3 3 7 u . d

Resposta

u → ^ v →   = 4 S Δ O A B

d = 3 3 7 u . d

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