6. Seja L = D 2 - 2 D + 2 .

a) Provar que as funções f 1 t = e t cos ⁡ t e f 2 t = e t   s e n   t são soluções da equação diferencial L y = 0 .

b) Provar que f 1 t e f 2 t são linearmente independentes.

c) Qual é a solução geral da equação y ' ' - 2 y ' + 2 y = 0 ?

d) Dentre as soluções existe uma, e apenas uma que satisfaz as condições f 0 = 1 e f ' 0 = - 1 . Ache-a.

Passo 1

a) pra provar que as funções são soluções é só jogar elas na equação diferencial, né...

L y = 0

Passo 2

Pra f 1 t = e t cos ⁡ t :

D 2 - 2 D + 2 e t cos ⁡ t = 0

D 2 e t cos ⁡ t - 2 D e t cos ⁡ t + 2 e t cos ⁡ t = 0

Vamos fazer aos poucos:

-a primeira derivada:

D e t cos ⁡ t = e t cos ⁡ t - e t s e n   t

-a segunda:

D 2 e t cos ⁡ t = D e t cos ⁡ t - e t s e n   t

= e t cos ⁡ t - e t s e n   t - e t s e n   t - e t cos ⁡ t

= - 2 e t s e n   t

Substituindo:

D 2 e t cos ⁡ t - 2 D e t cos ⁡ t + 2 e t cos ⁡ t = 0

- 2 e t s e n   t - 2 e t cos ⁡ t - e t s e n   t + 2 e t cos ⁡ t = 0

0 = 0

Como queríamos provar.

Passo 3

Pra f 2 t = e t   s e n   t :

D 2 - 2 D + 2 e t   s e n   t = 0

D 2 e t   s e n   t - 2 D e t   s e n   t + 2 e t   s e n   t = 0

Vamos fazer aos poucos:

-a primeira derivada:

D e t   s e n   t = e t s e n   t + e t cos ⁡ t

-a segunda:

D 2 e t   s e n   t = D e t s e n   t + e t cos ⁡ t

= e t s e n   t + e t cos ⁡ t + e t cos ⁡ t - e t s e n   t

= 2 e t cos 2 ⁡ t

Substituindo:

D 2 e t   s e n   t - 2 D e t   s e n   t + 2 e t   s e n   t = 0

2 e t cos 2 ⁡ t - 2 e t s e n   t + e t cos ⁡ t + 2 e t   s e n   t = 0

0 = 0

Como queríamos provar.

Resposta

prova

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