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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 22

Provar que os pontos A 5 ,   1 ,   5 , B 4 ,   3 ,   2 e C - 3 ,   - 2 ,   1 são vértices de um triângulo retângulo.

Passo 1

Nessa questão, temos que verificar se esses pontos formam um triângulo retângulo. Para isso, temos que testar se algum dos ângulos nos vértices A , B e C é reto.

Para isso cos ⁡ θ = 0 . O que implica que, formando vetores par a par com esses pontos, seu protudo escalar deve ser zero e depois se uma igualdade é respeitada.

Passo 2

Criando os vetores partindo de A .

A B → = 4 - 5 ,   3 - 1 ,   2 - 5 A C → = - 3 - 5 ,   - 2 - 1 ,   1 - 5       →         A B → = - 1 ,   2 ,   - 3 A C → = - 8 ,   - 3 ,   - 4

Criando os vetores partindo de B .

B A → = 5 - 4 ,   1 - 3 ,   5 - 2 B C → = - 3 - 4 ,   - 2 - 3 ,   1 - 2       →         B A → = 1 ,   - 2 ,   3 B C → = - 7 ,   - 5 ,   - 1

Passo 3

Vamos agora fazer o produto escalar desses vetores e verificar se algum deles resulta em 0

A B → ∙ A C → = - 1 ,   2 ,   - 3 ∙ - 8 ,   - 3 ,   - 4

A B → ∙ A C → = 8 + - 6 + 12 = 14

A B → ∙ A C → ≠ 0         ∴     cos ⁡ Â ≠ 0         →         Â ≠ 90 °

B A → ∙ B C → = 1 ,   - 2 ,   3 ∙ - 7 ,   - 5 ,   - 1

B A → ∙ B C → = - 7 + 10 + ( - 3 )

B A → ∙ B C → = 0       ∴   cos ⁡ B ^ = 0 →       B ^ = 90 °

Como achamos o ângulo reto, não precisamos saber qual o ângulo formado no vértice C . Vamos economizar energia e fazer menos contas.

Passo 4

Por fim, precisamos verificar se os esses vértices formam um triângulo. Para isso, temos que ver a validade da equação

A B → - A C → = C B →

Verificando o lado esquerdo da equação:

- 1 ,   2 ,   - 3 - - 8 ,   - 3 ,   - 4

- 1 - - 8 ,   2 - - 3 ,   - 3 - ( - 4 )

- 1 + 8 ,   2 + 3 ,   - 3 + 4

7 ,   5 ,   1

Verificando o lado direito da equação:

C B → = 4 ,   3 ,   2 - - 3 ,   - 2 ,   1

C B → = 4 - - 3 ,   3 - - 2 ,   2 - 1

C B → = 4 + 3 ,   3 + 2 ,   1

C B → = 7 ,   5 ,   1

Como todos os lados da equação são iguais, os vértices A , B e C formam um triângulo

Resposta

Os vértices formam um triângulo retângulo.

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