Determinar o valor de a para que seja 45° o ângulo entre os vetores u → = ( 2,1 ) e v → = ( 1 , a )

Passo 1

A questão nos dá 2 vetores e o ângulo entre eles, então o dedo já coça para começar a fazer por essa nossa famosa formulinha:

c o s θ = u → ⋅ v → u → | v → |

Passo 2

Vamos começar calculando u → ⋅ v → , lembrando que o produto escalar é calculado fazendo:

u → ⋅ v → = x u * x v + y u * y v

u → ⋅ v → = 2 * 1 + 1 * a

u → ⋅ v → = a + 2

Passo 3

Agora vamos achar os módulos!

Começando por u →

u → = 2 2 + 1 2

u → = 5

E, para v → , temos:

v → = 1 2 + a 2

Passo 4

Então vamos colocar na nossa fórmula, lembrando que :

cos ⁡ 45 ° = 2 2

cos ⁡ 45 ° = a + 2 5 1 + a 2

2 2 = a + 2 5 1 + a 2

Mulitplicando cruzado ficamos com

2 * 5 1 + a 2 = 2 a + 2

10 + 10 a 2 = 2 a + 4

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

10 + 10 a 2 = 2 a + 4 2

10 + 10 a 2 = 4 a 2 + 16 a + 16

6 a 2 - 16 a - 6 = 0

Podemos simplificar a equação assim:

3 a 2 - 8 a - 3 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, temos:

a = 8 ± 8 2 - 4 * 3 * - 3 2 * 3

a = 8 ± 10 6

a = 3

Ou

a = - 1 3

Resposta

a = 3

Ou

a = - 1 3

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