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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 1

Prove que se a > 0 então a elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 está contida no disco x 2 + y 2 ≤ a 2 e no retângulo x ≤ a ,   y ≤ b , cujos vértices s˜ao os 4 pontos ( ± a , ± b ) . Prove também que todo ponto do disco x 2 + y 2 ≤ b 2 cumpre x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 . Mostre que ± a , 0   e   ( 0 , ± b ) são, respectivamente, os pontos da elipse mais afastados e mais próximos da origem.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Nessa questão prove que se a > 0 então a elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 está contida no disco x 2 + y 2 ≤ a 2 e no retângulo x ≤ a ,   y ≤ b , cujos vértices s˜ao os 4 pontos ( ± a , ± b ) . Prove também que todo ponto do disco x 2 + y 2 ≤ b 2 cumpre x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 . Mostre que ± a , 0   e   ( 0 , ± b ) são, respectivamente, os pontos da elipse mais afastados e mais próximos da origem.

Precisa fazer esta carinha não que ela parece difícil mais é de boa.

Passo 2

Para a > b , temos

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 contido em x 2 + y 2 ≤ a 2

Sendo,

x ≤ a     e   y ≤ b   para 4 pontos ( ± a , ± b )

d p , f + d p ' , f ' = 2 a

Ficando,

x - c 2 + y 2 + x + c 2 + y 2 = 2 a

a x + c 2 + y 2 = a 2 + c x

Para no fim ficarmos com,

x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1

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