Enunciado

Prove: se k != 0 , então A e k A têm o mesmo posto.

Passo 1

Olá!! tudo bem? Vamos resolver esse problema?

Seja:

A = [[[r_1],[r_2],[vdots],[r_n]]]

Onde r_i , para i = overset(-)(1 , n) , é a linha da matriz A , e ainda

k A = [[[k r_1],[k,r_2],[vdots],[k,r_n]]]

Onde k r_i , para i = overset(-)(1 , n) , é a linha da matriz k A .

O que foi dito anteriormente pode ser comprovado por contradição. Vamos supor que p o s (A) = p e que { (r_1 , r_2 , ... r_p) } sejam linearmente independentes. Como k é escalar o conjunto { (k r_1 , k r_2 , ... k r_p) } também é linearmente independente.

Agora, seja k r_i outra linha da matriz A , de modo que é o conjunto {(k r_1 , k r_2 , ... k r_p , k r_i)} é linearmente independente para i != overset(-)(1 , p) .

Portanto, o conjunto { (r_1 , r_2 , ... r_p , r_i) } é também linearmente independente, o que é contrário à suposição de que p o s (A) = p .

Deste modo, concluímos que o máximo de linhas linearmente independentes da matriz k A é { (k r_1 , k r_2 , ... k r_p) } . Logo, as matrizes A e k A possuem o mesmo posto.

Resposta

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